IrMO 2000

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Zij $S$ de verzameling van alle getallen van de vorm $n^2+n+1$. Toon aan dat het product van $n^2+n+1$ en $(n+1)^2+(n+1)+1$ ook een element is van $S$, maar geef een voorbeeld van $a,b\in S$ en $ab\notin S$.

Vraag 2

$ABCDE$ is een regelmatige vijfhoek met zijde 1. $F$ is het midden van $AB$. $G,H$ zijn punten op $DC,DE$ respectievelijk zodat $\angle DFG=\angle DFH=30^\circ$. Toon aan dat $FGH$ gelijkzijdig is en $\displaystyle{GH=\frac{2\cos18^\circ\cos^236^\circ}{\cos6^\circ}}$. Een vierkant is ingeschreven in $FGH$ met één zijde op $GH$. Toon aan dat zijn zijde lengte $\displaystyle{\frac{GH\sqrt3}{2+\sqrt3}}$ heeft.

Vraag 3 Opgelost!

Zij $f(n)=5n^{13}+13n^5+9an$. Vind het kleinste natuurlijk getal $a$ zodat $f(n)$ deelbaar is door 65 voor ieder natuurlijk getal $n$.

Dag 2

Vraag 1

Een strikt stijgende rij $a_1

Vraag 2

Zij $y=x^2+2px+q$ een parabool die de $x$- en $y$-as snijdt in drie verschillende punten. Zij $C_{pq}$ de cirkel die door deze punten gaat. Toon aan dat alle cirkels $C_{pq}$ door een gemeenschappelijk punt gaan.

Vraag 3 Opgelost!

Als $x,y$ twee reële getallen zijn zodat $x+y=2$, toon dan aan dat
$$x^2y^2(x^2+y^2)\leq2.$$

Dag 3

Vraag 1

$ABCD$ is een cyclische vierhoek met straal van de omgeschreven cirkel $R$, lengtes van de zijden $a,b,c,d$ en oppervlakte $S$. Toon aan dat
$$16R^2S^2=(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)$$
en leid hieruit af dat
$$RS\sqrt2\geq\sqrt[4]{(abcd)^3}$$
met gelijkheid als en slechts als $ABCD$ een vierkant is.

Vraag 2

Voor ieder natuurlijk getal $n$, vind alle natuurlijke getallen $m$ die kunnen geschreven worden als $1/a_1+2/a_2+\cdots+n/a_n$ voor zekere natuurlijke getallen $a_1

Vraag 3 Opgelost!

Toon aan dat er in een verzameling van 10 opeenvolgende natuurlijke getallen zeker één element zit dat onderling ondeelbaar is met al de andere getallen.

Vraag 4 Opgelost!

$p(x)$ is een veelterm met positieve reële coëfficiënten zodat $p(4)=2,p(16)=8$. Toon aan dat $p(8)\leq4$ en vind alle veeltermen waar gelijkheid optreedt.