veeltermongelijkheid

Opgave - IrMO 2000 dag 3 vraag 4

$p(x)$ is een veelterm met positieve reële coëfficiënten zodat $p(4)=2,p(16)=8$. Toon aan dat $p(8)\leq4$ en vind alle veeltermen waar gelijkheid optreedt.

Oplossing

Zolang $p(x)$ niet van de vorm $p(x) = mx^n$ is (dus uit meerdere termen bestaat), is het niet moeilijk aan te tonen via Cauchy dat $$p\left(\sqrt{ab}\right) \leq \sqrt{p(a)p(b)},$$voor alle $a,b\geq 0$. (Merk op dat de voorwaarde "met positieve reële coëfficiënten" dus niet overbodig is :razz: ) Gelijkheid treedt op als en slechts als $a = b$.

Op dit geval toegepast, krijgen we $p(8) = p(\sqrt{4\cdot 16}) \leq \sqrt{p(4)p(16)} = 4$. Maar $4\neq 16$, dus we kunnen geen gelijkheid krijgen. Echter, we hebben nog de veeltermen van de vorm $p(x) = mx^n$. Er geldt $2 = p(4) = m4^n$ en $8 = p(16) = m16^n = m(4^n)^2 = 2\cdot 4^n$, dus $n=1$ en $m = \frac{1}{2}$, i.e. gelijkheid bij $p(x) = \frac{x}{2}$.