deelbaar door 65

Opgave - IrMO 2000 dag 1 vraag 3

Zij $f(n)=5n^{13}+13n^5+9an$. Vind het kleinste natuurlijk getal $a$ zodat $f(n)$ deelbaar is door 65 voor ieder natuurlijk getal $n$.

Oplossing

Vullen we $n=1$ in dan zien we meteen dat $a\ge 63$.

Voor $a=63$ hebben we nu dankzij de kleinen van Fermat $\begin{cases} 5n^{13}+9an = 5n - 18 n = 0 \pmod{13} \\ 13n^{5} +9an = 13 n - 18 n = 0 \pmod 5\end{cases}$, zodat dit ook voldoet.