IrMO 1993

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

De reële getallen $x,y$ voldoen aan $x^3-3x^2+5x-17=0$ en $y^3-3y^2+5y+11=0$. Vind $x+y$.

Vraag 2 Opgelost!

Zoek uit welke natuurlijke getallen kunnen geschreven worden als de som en het product van dezelfde rij van twee of meer natuurlijke getallen (bijvoorbeeld: $10=5+2+1+1+1=5\cdot2\cdot1\cdot1\cdot1$).

Vraag 3

Een driehoek $ABC$ heeft een vaste ingeschreven cirkel. $BC$ raakt de ingeschreven cirkel in een vast punt $P$. $B$ en $C$ variëren zodat $PB\cdot PC$ constant blijft. Vind de meetkundige plaats van $A$.

Dag 2

Vraag 1

Een $n$-degraadsveelterm heeft reële coëfficiënten en al zijn wortels zijn reëel en liggen in het interval $]0,1[$. We weten ook dat $f(1)=|f(0)|$. Toon aan dat het product van de wortels niet meer is dan $1/2^n$.

Vraag 2

De punten $z_1,z_2,z_3,z_4,z_5$ vormen een convexe vijfhoek in het complex vlak. De oorsprong en de punten $\alpha z_1,\ldots,\alpha z_5$ liggen allemaal binnen de vijfhoek. Toon aan dat $|\alpha|\leq1$ en $\Re(\alpha)+\Im(\alpha)\tan(\pi/5)\leq1$.

Vraag 3 Opgelost!

Gegeven vijf rasterpunten in het vlak, toon aan dat er minimum één paar van die punten is die een rasterpunt heeft op het lijnstuk dat hen verbindt.

Dag 3

Vraag 1

$a_1,a_2,\ldots,a_n$ zijn verschillende reële getallen en $b_1,b_2,\ldots,b_n$ reële getallen. Er bestaat een reëel getal $\alpha$ zodat $\displaystyle{\prod_{1\leq k\leq n}(a_i+b_k)=\alpha}$ voor $i=1,2,\ldots,n$. Toon aan dat er een reële $\beta$ bestaat zodat $\displaystyle{\prod_{1\leq k\leq n}(a_k+b_j)=\beta}$ voor $j=1,2,\ldots,n$.

Vraag 2

Gegeven een natuurlijk getal $r\leq n$, toon aan dat
$$\sum_d\binom{n-r+1}d\binom{r-1}{d-1}=\binom nr$$
waar de som genomen wordt over alle positieve $d\leq n-r+1$ en $\leq r$.

Vraag 3

Toon aan dat
$$\sin x+\frac{\sin3x}3+\cdots+\frac{\sin(2n-1)x}{2n-1}>0$$
voor alle $x\in]0,\pi[$.

Vraag 4

Een $m\times n$ rechthoek is verdeeld in eenheidsvierkantjes. Toon aan dat een diagonaal van de rechthoek $m+n-\text{ggd}(m,n)$ eenheidsvierkantjes snijdt. Een $a\times b\times c$ balk is verdeeld in eenheidskubusjes. Hoeveel zo'n kubusjes snijdt een lange diagonaal van die balk?