CanMO 1975

Vraag 1 Opgelost!

Vereenvoudig
$$\left(\frac{1\cdot2\cdot4+2\cdot4\cdot8+\cdots+n\cdot2n\cdot4n}{1\cdot3 \cdot9+2\cdot6\cdot18+\cdots+n\cdot3n\cdot9n}\right)^{\frac13}.$$

Vraag 2 Opgelost!

Een rij getallen $a_1,a_2,a_3,...$ voldoet aan
(i) $a_1=\frac12$;
(ii) $a_1+a_2+\cdots+a_n=n^2a_n\ \ (n\geq1)$.
Bepaal de waarde van $a_n$ ($n\geq1$).

Vraag 3 Opgelost!

Teken in het $(x,y)$-vlak alle punten die voldoen aan $\lfloor x\rfloor^2+\lfloor y\rfloor^2=4$.

Vraag 4 Opgelost!

Vind een positief reeel getal zodanig dat het gedeelte na de komma, het gedeelte voor de komma en het getal zelf een meetkundige rij vormen.

Vraag 5 Opgelost!

$A,B,C,D$ zijn vier ``opeenvolgende'' punten op de omtrek van een cirkel, en $P,Q,R,S$ punten op de cirkels die de middens zijn van de bogen $AB,BC,CD,DA$ respectievelijk. Bewijs dat $PR$ loodrecht staat op $QS$.

Vraag 6 Opgelost!

(i) 15 stoelen worden geplaatst rond een cirkelvormige tafel met bijhorende naamkaartjes voor de 15 gasten. De gasten merken deze kaartjes echter niet op, en het blijkt dat niemand op de juiste plaats zit. Toon aan dat de tafel zodanig gedraaid kan worden dat er tegelijkertijd twee mensen wel op de juiste plaats zitten.
(ii) Geef een voorbeeld van een schikking waarbij 1 iemand op de juiste plaats zit en elke rotatie van de tafel ervoor zorgt dat er maximum 1 op de juiste plaats zit.

Vraag 7 Opgelost!

Is de functie $f(x)=\sin(x^2)$ periodiek? Verklaar je antwoord.

Vraag 8 Opgelost!

Zij $k$ een natuurlijk getal. Vind alle veeltermen
$$P(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$$
met alle $a_i$ reële getallen, die voldoen aan de vergelijking
$$P(P(x))=(P(x))^k.$$