cirkel

Opgave - CanMO 1975 vraag 5

$A,B,C,D$ zijn vier ``opeenvolgende'' punten op de omtrek van een cirkel, en $P,Q,R,S$ punten op de cirkels die de middens zijn van de bogen $AB,BC,CD,DA$ respectievelijk. Bewijs dat $PR$ loodrecht staat op $QS$.

Oplossing

Het is algemeen geweten dat het midden $P$ van $\arc{AB}$ het snijpunt van de bissectrice van $\angle ADB$ en analoog is $DQ$ de bissectrice van $\angle BDC$. Noem $T$ het snijpunt van $PR$ en $QS$. Dan is $$\angle PST = \angle PSQ = \angle PDQ= \angle PDB + \angle BDQ = \frac{1}{2}\left(\angle ADB + \angle BDC\right) = \frac{1}{2}\angle ADC.$$Analoog zal $\angle SPT = \frac{1}{2}\angle ABC$. Bijgevolg zal $\angle PST + \angle SPT = \frac{1}{2}\left(\angle ABC+\angle ADC\right) = 90^{\circ}$, waaruit meteen volgt dat $\angle PTS = 90^{\circ}$.