rij

We zien dat $a_{1}+a_{2}=\frac{2}{3}$ en $a_{1}+a_{2}+a_{3}=\frac{3}{4}$. We hebben dus het vermoeden dat $\sum_{i=1}^{n}a_{i}=\frac{n}{n+1}$. We zullen dit bewijzen per inductie:

Voor $n=1,n=2,n=3$ klopt het,

Stel het klopt voor $n=k$, dan is $a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{k}=\frac{k}{k+1}$, dan geldt: $$a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{k}+a_{k+1}=(k+1)² \cdot a_{k+1}$$
Ofwel: $$\frac{k}{k+1}=k(k+2)\cdot a_{k+1}$$
$$a_{k+1}=\frac{1}{(k+1)\cdot (k+2)}$$
Tellen we dit getal op bij $\frac{k}{k+1}$, dan bekomen we idd $\frac{k+1}{k+2}$, het vermoeden klopt dus en we hebben meteen de waarde voor $a_{n}$: $$a_{n}= \frac{1}{(n)\cdot (n+1)}$$