veeltermen

Stel dat de graad van $P(x)$ gelijk is aan $n$, dan is $n^2=kn$ zodat $n=0$ of $n=k$.

Als $n=0$, dan is $P(x)=c$ zodat de vergelijking $c=c^k$ wordt, wat betekent dat $c=0$ of $c^{k-1}=1$, zodat $c=1$ als $k$ even is en $c=1$ of $c=-1$ als $k$ oneven is.

Als $n=k$ dan weten we dat $a_kP(x)^k+a_{k-1}P(x)^{k-1}+...+a_0=P(x)^k$ zodat de veelterm $(a_k-1)P(x)^k+a_{k-1}P(x)^{k-1}+...+a_0$ de nulveelterm is. dit betekent echter dat alle $a_i=0$ voor $i\le k-1$ en $a_k=1$ aangezien $P(x)$ niet de nulveelterm is. we verkrijgen dat $P(x)=x^k$ een oplossing is want hij voldoet ook nog aan de vergelijking.

Alles samengebracht betekent dit dat er drie. plossingen zijn als $k$ even is, namelijk $P(x)=1$ of $0$ en $P(x)=x^k$ en dat er vier oplossingen zijn als $k$ oneven is, namelijk dezelfde als het vorig geval met $P(x)=-1$ erbij.