CanMO 1969

Vraag 1 Opgelost!

Als $a_1/b_1=a_2/b_2=a_3/b_3$ en $p_1,p_2,p_3$ zijn niet alle drie 0, toon dan aan dat
$$\left(\frac{a_1}{b_1}\right)^n=\frac{p_1a_1^n+p_2a_2^n+p_3a_3^n}{p_1 b_1^n+p_2b_2^n+p_3b_3^n}$$
voor elk natuurlijk getal $n$.

Vraag 2 Opgelost!

Bepaal welk van de twee getallen $\sqrt{c+1}-\sqrt c$ of $\sqrt c-\sqrt{c-1}$ groter is voor eender welke $c\geq1$.

Vraag 3 Opgelost!

Zij $c$ de lengte van de hypotenusa van een rechthoekige driehoek waarvan de andere twee zijden lengte $a$ en $b$ hebben. Bewijs dan dat $a+b\leq\sqrt2c$. Wanneer vind de gelijkheid plaats?

Vraag 4 Opgelost!

Zij $ABC$ een gelijkzijdige driehoek, en $P$ een willekeurig punt binnen de driehoek. De loodrechten $PD, PE, PF$ worden getekend vanuit $P$ naar de zijden van de driehoek. Toon aan dat, ongeacht waar $P$ getekend wordt,
$$\frac{PD+PE+PF}{AB+BC+CA}=\frac1{2\sqrt3}.$$

Vraag 5 Opgelost!

Zij $ABC$ een driehoek met als lengte van de zijden $a,b,c$. Zij $D$ het punt waar de bissectrice van de hoek $C$ $AB$ snijdt. Bewijs dan dat de lengte van $CD$ gelijk is aan
$$\frac{2ab\cos\frac C2}{a+b}.$$

Vraag 6 Opgelost!

Vind de som van $1\cdot1!+2\cdot2!+3\cdot3!+\cdots+n\cdot n!$

Vraag 7 Opgelost!

Toon aan dat er geen natuurlijke getallen $a,b,c$ bestaan waarvoor $a^2+b^2-8c=6$.

Vraag 8 Opgelost!

Zij $f$ een functie met de volgende eigenschappen:
a) $f(n)$ is gedefinieerd voor ieder natuurlijk getal $n$;
b) $f(n)$ is een natuurlijk getal;
c) $f(2)=2$;
d) $f(mn)=f(m)f(n)$ voor alle $m$ en $n$;
e) $f(m)>f(n)$ als $m>n$.
Bewijs dat $f(n)=n$.

Vraag 9 Opgelost!

Toon aan dat voor iedere vierhoek die ingeschreven is in een cirkel met straal 1, de lengte van de kortste zijde kleiner of gelijk is aan $\sqrt2$.

Vraag 10 Opgelost!

Zij $ABC$ een gelijkbenige rechthoekige driehoek waarvan de gelijke zijden lengte 1 hebben. $P$ is een punt op de hypotenusa, en de voetpunten van de loodrechten op $AC$ en $BC$ zijn $Q$ en $R$ respectievelijk. Beschouw de oppervlaktes van de driehoeken $APQ$ en $PBR$, en de oppervlakte van de rechthoek $QCRP$. Bewijs dat, ongeacht de keuze van $P$, de grootste van deze drie oppervlaktes minimum 2/9 is.