koordenvierhoek

Opgave - CanMO 1969 vraag 9

Toon aan dat voor iedere vierhoek die ingeschreven is in een cirkel met straal 1, de lengte van de kortste zijde kleiner of gelijk is aan $\sqrt2$.

Oplossing

Noem het centrum $O$ en en de vierhoek $ABCD$. Dan is $\angle AOB+\angle BOC+\angle COD+\angle DOA=360^\circ$, zodat de kleinste van de vier hoogstens $90^\circ$ kan zijn. Noem de kleinste hoek $\alpha\le90^\circ$. De cosinusregel zegt nu dat die zijde gelijik is aan $\sqrt{1+1-2\cos(\alpha)}\le\sqrt{2-2\cos(90^\circ)}=\sqrt{2}$. $\Box$

:)