minimale oppervlakte
Opgave - CanMO 1969 vraag 10
Zij $ABC$ een gelijkbenige rechthoekige driehoek waarvan de gelijke zijden lengte 1 hebben. $P$ is een punt op de hypotenusa, en de voetpunten van de loodrechten op $AC$ en $BC$ zijn $Q$ en $R$ respectievelijk. Beschouw de oppervlaktes van de driehoeken $APQ$ en $PBR$, en de oppervlakte van de rechthoek $QCRP$. Bewijs dat, ongeacht de keuze van $P$, de grootste van deze drie oppervlaktes minimum 2/9 is.
- login om te reageren
Oplossing
ofwel is $[BRP]>\frac{2}{9}$ ofwel kleiner (of gelijk aan). In het eerste is het bewezen, we beschouwen het tweede geval:
ofwel is $[PQA]>\frac{2}{9}$ ofwel kleiner(of gelijk aan). In het eerste geval is de stelling voldaan,
we blijven nu nog over met:
$[BRP] \le \frac{2}{9}$ en $[PQA] \le \frac{2}{9}$
Dit is gelijkwaardig met zeggen:
$\frac{BR*RP}{2}\le\frac{2}{9}$ en $\frac{QA*PQ}{2} \le \frac{2}{9}$
Wegens gelijkbenige driehoeken is $BR=RP$ en $PQ=QA$
Dus bekomen we dat $RP\le\frac{2}{3}$ en $PQ\le\frac{2}{3}$
Maar $RP=1-PQ \ge \frac{1}{3}$ dus is $\frac{1}{3} \le RP \le \frac{2}{3}$
De oppervlakte van de rechthoek is groter dan of gelijk aan $\frac{2}{9}$ als en alleen als
$RP*PQ\ge \frac{2}{9}$ of nog: $-RP^2+RP-\frac{2}{9} \ge 0$ (substitutie van $RP = 1-PQ$)
Lossen we deze ongelijkheid op, zien we dat $\frac{1}{3} \le RP \le \frac{2}{3}$,
maar dit zijn juist de grenswaarden die we voordien hadden afgeleid, dus is het bewezen dat in ieder geval er een oppervlakte minimum $\frac29$ is.
Noem $PR=x$ en $PQ=y$. Het is niet moeilijk om in te zien dat $AQP$ en $ACB$ gelijkvormig zijn, door gemeenschappelijke hoek en evenwijdigheid. Daaruit volgt dat
$\frac{x}{1}=\frac{1-y}{1}$
$\Rightleftarrow y=1-x$
Noem de oppervlakte van $PBR$, $APQ$ en $QCRP$ respectievelijk $A_1$, $A_2$ en $A_3$. Nu is
$A_1=\frac{x^2}{2}$
$A_2=\frac{(1-x)^2}{2}$
$A_3=x(1-x)$
Als we als voorwaarde stellen dat $A_i\ge \frac{2}{9}$ voor iedere $i=1,2,3$, dan bekomen we de volgende resultaten.
$A_1\ge \frac{2}{9} \Rightarrow x\ge \frac{2}{3}$
$A_2\ge \frac{2}{9} \Rightarrow x\le \frac{1}{3}$
$A_3\ge \frac{2}{9} \Rightarrow \frac{1}{3}\le x\le \frac{2}{3}$
Op deze manier zien we dat er telkens een oppervlakte groter of gelijk aan $\frac{2}{9}$ is. $\blacksquare$