som
Opgave - CanMO 1969 vraag 6
Vind de som van $1\cdot1!+2\cdot2!+3\cdot3!+\cdots+n\cdot n!$
- login om te reageren
Olympia
Nederlandstalig olympiadeproject
Zoeken
Random generator
Niveau
Wie is online
Er zijn momenteel 0 gebruikers en 1 gast online.
Oplossing
Inspectie van de eerste waarden toont gemakkelijk de formule $(n+1)!-1$. Stel dat het waar is voor $n$, dan geldt voor $n+1$ dat $$1\cdot1!+\cdots+n\cdot n!+(n+1)\cdot(n+1)!=(n+1)!-1+(n+1)\cdot(n+1)!$$ $$=(n+2)\cdot(n+1)!-1=(n+2)!-1$$ wat ons het bewijs levert via inductie.
Of gewoon recursief: $(n+1)! = n.n! + n! = n.n! + (n-1)(n-1)! + (n-1)! = ... = \sum^n_{i=1}i.i! + 1$.