lengte
Opgave - CanMO 1969 vraag 5
Zij $ABC$ een driehoek met als lengte van de zijden $a,b,c$. Zij $D$ het punt waar de bissectrice van de hoek $C$ $AB$ snijdt. Bewijs dan dat de lengte van $CD$ gelijk is aan
$$\frac{2ab\cos\frac C2}{a+b}.$$
- login om te reageren
Oplossing
Elementaire meetkunde:
Uit de bissectricestelling weten we dat $\frac{b}{|AD|}=\frac{a}{|BD|}$ en $|AD|+|BD|=c$
Oplossen naar $|BD|$ geeft $|BD|=\frac{ac}{a+b}$
We passen de sinusregel twee maal toe:
in driehoek $BCD$:
$\frac{|CD|}{\sin(\angle B)}=\frac{|BD|}{\sin(\frac{\angle C}{2})}$
dus $|CD| = \frac{ac \sin(\angle B)}{(a+b) sin(\frac{\angle C}{2})}$
en in driehoek $ABC$:
$\frac{\sin(\angle B)}{b}=\frac{\sin(\angle C)}{c}$ of
$\sin(\angle B) = \frac{b \sin(\angle C)}{c}$
invullen van $\sin(\angle B)$ in de eerste vergelijking, geeft $\frac{ab \sin(\angle c)}{(a+b) sin(\frac{\angle C}{2})}.$
Nog gebruik maken van de formules
voor dubbele hoeken in $\sin(\angle C)$ geeft het gevraagde.