IMOSL 2010
Dag 1
Vraag 1 Opgelost!
Zoek alle functies f$ \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ zodat er geldt dat
$f([x]y)=f(x)[f(y)].$
***
Hierbij wordt met $[x]$ de entierfunctie bedoelt die een getal afrond naar beneden op zijn geheel deel.
Vraag 5
$f\mathbb{Q^+} \to \mathbb{Q^+}$ voldoet aan
$f(f(x)^2y)=x^3f(xy) \forall x,y \in \mathbb{Q^+}$ (verzameling van strikt positieve rationale getallen).
Vraag 6
$f,g \mathbb{N} \to \mathbb{N} f(g(n))=f(n)+1,g(f(n))=g(n)+1,n \in \mathbb{N}$
TB: $f(n)=g(n) \forall n \in \mathbb{N}$
Vraag 9
In een zangwedstrijd zijn er $20$ deelnemers.
Iedere zanger zegt welke zangers er voor hem moeten spelen.
Kan het gebeuren dat er exact $2010$ manieren zijn om aan hun wensen te voldoen?
Vraag 10
Op een planeet hebben we $2^N$ landen met $N\ge 4$.
Ieder land heeft een vlag met $N$ stroken die naast elkaar liggen.
Geen $2$ landen hebben er eenzelfde vlag.
Een verzameling van $N$ vlaggen is divers als we ze kunnen leggen tot een $N*N$vierkant zodat alle $N$ velden/stroken op de hoofddiagonaal dezelfde kleur hebben.
Vind het kleinste aantal vlaggen dat we nodig hebben, zodat we er steeds $N$ kunnen vinden die een diverse verzameling kunnen vormen.
Vraag 15
$P_1,\cdots P_s$ zijn rekenkundige rijen van gehele getallen.
De volgende condities gelden:
a) ieder geheel getal behoort tot minstens $1$ rekenkundige rij
b) iedere rij bevat minimum $1$ getal dat geen enkele andere rij bevat
Met $n$ noçteren we het kgv van de verschillen van de $s$ rijen en schrijf $n=p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k}$ als priemfactorontbinding.
Bewijs dat $s\ge 1+ \sum_{i=1}^{
k} a_i(p_i - 1).$
Vraag 15
$P_1$ tot $P_s$ zijn $s$ rekenkundige rijen van gehele getallen:
* ieder getal tot minimum $1$ rij behoort
* iedere rij heeft een getal die de andere niet hebben
Het kgv van de verschillen v.d. rijen noemen we $n=\prod_{i=1}^{i=k} p_i^{\alpha_i}.$
Bewijs dat $s\ge 1+ \sum_{i=1}^k \alpha_i (p_i -1).$
Vraag 16
$D,E,F$ zijn de voetpunten van de loodlijnen op $BC,AC,AB$ van de scherphoekige driehoek $ABC.$
$P \in EF \cap \Gamma$ (omgeschreven cirkel van $\triangle ABC$.)
$BP \cap DF=Q$
Bewijs dat $|AP|=|AQ|$
Vraag 19
Laat $I$ het middelpunt van de ingeschreven cirkel zijn van een driehoek $\triangle{ABC}$ en $\phi$ de omgeschreven cirkel. De lijn $AI$ snijdt $\phi$ opnieuw in $D.$ Laat $E$ een punt zijn op de boog $\arc{BDC}$ en $F$ een punt op zijde $[BC]$ zodat
$\angle{BAF}= \angle{CAE} <1/2\angle{BAC}.$
Laat $G$ het midden zijn van $[IF]$, bewijs dat de lijnen $DG$ en $EI$ elkaar snijden op $\phi$.
Vraag 20
$ABCDE$ is een convexe vijfhoek met $BC//AE,|AB|=|BC|+|AE|$ en $\angle ABC= \angle CDE.$
$M$ is het midden van $[CE]$ en $O$ is de omcentrum van $\triangle BCD.$
Bewijs als $DM\perp MO$ geldt dat $\angle BDA= 0.5\angle CDE$
Vraag 23
Vind het kleinste getal $n$ zodat er een set $\{s_1,s_2,\cdots,s_n\}$ bestaat van $n$ verschillende natuurlijke getallen zodat $\frac{s_1-1}{s_1}(1-\frac{1}{s_2})\cdots(1-\frac{1}{s_n})=\frac{51}{2010}.$
Vraag 24
Vind alle natuurlijke getallen $(m,n)$ zodat $m^2+2\cdot 3^n=m(2^{n+1}-1).$
Vraag 25
Vind het kleinste getal $n$ zodat er $n$ polynomen $f_i$ bestaan met rationale coëfficiënten: $x^2+7=f_1(x)^2+\cdots + f_n(x)^2.$
Vraag 26
Vind alle functies $f \colon\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ zodat $(f(m)+n)(f(n)+m)$ een volkomen kwadraat is $\forall m,n \in \mathbb{N}.$
Vraag 28
$m \in \mathbb{N}$ is $\ge 1.$
We hebben een schaakbord met zijden van lengte $2^m.$
De rijen en kolommen worden telkens van $0$ tot $2^m-1$ genummerd.
Ieder vakje van het schaakbord wordt gekleurd zodat:
$\forall i,j \in \mathbb{N} | 0\le i,j \le 2^m -1 $ het vakje in rij $i$ en kolom $j$ het vakje in de $i+j$ de kolom en j'de rij, hetzelfde kleur hebben.
Bewijs dat we max. $2^m$ kleuren hebben.
