A1 van 2010

$x=0$ geeft $f(0)=f(0)[f(y)]$, dus we hebben 2 gevallen:

$\vspace{0.3 cm}$

geval 1: $[f(y)]=1$ voor alle $y\in\mathbb{R}$
in het bijzonder hebben we dan $[f(0)]=1$, dus vul in $y=0$ en je krijgt voor alle $x$
$f(0)=f(x)[f(0)]=f(x)$, dus $f$ is constant. we hebben hier $f(0)\ne 0$, dus alle constante functies $f(x)=c$ met $1\leq c<2$ voldoen.

$\vspace{0.3 cm}$
geval 2: $f(0)=0$
we hebben voor alle $0$<$x$<$1$ dat $0=f(0)=f(x)[f(y)]$. we hebben weer twee subgevallen:

$\vspace{0.15 cm}$
A) veronderstel dat $[f(y)]=0$ voor alle $y$, dan $f([x]y)=0$ voor alle $x,y$, zet nu $x=1$ en je bekomt als oplossing de constante functie $f\equiv 0$

$\vspace{0.15 cm}$
B) veronderstel dat voor alle $x$ met $[x]=0$, $f(x)=0$. dan, voor alle $0\leq y<1$ en voor alle $x$ hebben we $f([x]y)=f(x)[f(y)]=0$, dus het volstaat te tonen dat elk getal in $m\in\mathbb{R}$ kan geschreven worden in de vorm $m=[x]y$, oftewel $m=ky$, waarbij $k\in\mathbb{Z}$ en $0\leq y<1$.

het recept:
Wanneer $m>0$ is, nemen we $k=[m]+1$ en $y=\frac{m}{[m]+1}$
Wanneer $m<0$, nemen we $k=[m]-1$ en $y=\frac{m}{[m]-1}$

Hierdoor hebben we weer de oplossing $f\equiv 0$

$\vspace{0.3 cm}$
recap: alle opl. worden gegeven door $f(x)=c$ waarbij $c=0$ of $1\leq c<2$, $c\in\mathbb{R}$
Deze functies voldoen, aangezien $0=0$ en $c=c[c]$ voor $1 \le c <2$.