IMOSL 2005

Dag 1

Vraag 1

Vind alle paren gehele getallen $(a,b)$ zodat er een polynoom met gehele coëfficiënten bestaat, zodat $P(x)(x^2+ax+b)$ een polynoom is van de vorm $\sum_{i=0}^{n}c_i*x^i$ waarbij iedere $c_i$ gelijk is aan $\pm 1.$

Vraag 7

$k$ is een vast natuurlijk getal.
Een winkelketen wil zoveel mogelijk sombrero's verkopen.
Iedere klant kan $2$ anderen een sombrero doen kopen na zijn aankoop (het telt niet als de klant door iemand anders al overhaald was).
Iedere klant die zo (direct of via keten) minimum $k$ personen een sombrero liet kopen, wint een DVD. Bewijs dat wanneer men $n$ sombrero's verkocht, men maximaal $\frac{n}{k+2}$ DVD's geeft moeten weggeven.

Vraag 8

We hebben een $m*n$rechthoek bestaande uit $mn$ eenheidsvierkanten.
Ieder vakje wordt in het zwart of in 't wit gekleurd bij een partitie.
We definieren een pad als een opeenvolging van vierkanten betreden die zijden met elkaar gemeen hebben.
We noteren met $N$ het aantal manieren om het bord in wit en zwart te kleuren zodat er minimum $1$ pad bestaat uit enkel zwarte vierkanten die van het linkerdeel naar het rechtse deel van de rechthoek gaat.
$M$ is het aantal manieren waarbij er $2$ verschillende paden zijn in het zwart die van links $\to$ rechts gaan (dus geen zwart vierkant gemeen hebben)
Bewijs dat $N^2\ge 2^{mn}M$

Vraag 10

We hebben $n$ dubbelkleurige stenen die we plaatsen in een rij.
Bij de start wijzen ze allen met hun witte kant naar boven en in iedere stap kiezen we een witte steen met $2$ buren , waarna we de buren omdraaien en de witte steen wegnemen. (de stenen zijn zwart-wit bvb)
Bewijs dat we $n-2$ beurten lang kunnen spelen aesa $3\not| n-1.$

Vraag 11

$6$ Vragen werden gesteld op een IMO, zodat ieder paar van problemen door meer dan $40$ % van de deelnemers werd opgelost.
Niemand kon alle vragen.
Bewijs dat er minimum $2$ deelnemers $5$ vragen oplosten.
***
Geldt dit ook als we $\ge0.4$ hebben?

Vraag 14 Opgelost!

Gegeven is een driehoek $ABC$ zodat $\left|AC\right| + \left|BC\right| = 3 \left|AB\right|$. De ingeschreven cirkel van $ABC$ heeft middelpunt $I$ en raakt de zijden $BC$ en $CA$ in de punten $D$ en $E$. Noem $K$ en $L$ de reflecties van de punten $D$ en $E$ in $I$. Bewijs dat de punten $A,B,K,L$ op een cirkel liggen.

Vraag 16

$ABCD$ is een parallelogram waarbij een variabele lijn $l$ door 't punt $ A$ de zijden $ BC$ en $DC$ snijden in resp.$X,Y,$ ?
$K,L$ zijn de centra van de aangeschreven cirkels van $ABX$ en $\triangle ADY$ rakend aan de zijden $BX$ en $DY$, resp. Bewijs dat $\angleKCL$ niet verandert als
de lijn $l$ verandert van richting.

Vraag 22 Opgelost!

We hebben een oneindige rij $a_1,a_2,\cdots$ van gehele getallen zodat geldt dat $a_1,\cdots,a_n$ de $n$ resten modulo $n$ vertegenwoordigen.
De rij bevat zowel oneindig veel positieve als negatieve waarden,
Bewijs dan dat de rij ieder gehele getal exact $1$ keer bevat.

Vraag 23 Opgelost!

Zij $a,b,c,d,e,f$ $6$ strikt natuurlijke getallen waarvoor geldt dat $abc+def$ alsook $ab+bc+ca-(df+de+ef)$ deelbaar zijn door $S=a+b+c+d+e+f.$
Bewijs dat $S$ samengesteld is, i.e. meer dan $2$ delers heeft.

Vraag 26

$a^n+n|b^n+n,\forall n \in \mathbb N$, bewijs dat $a=b.$

Vraag 27

$P(x) \in \mathbb{Z}[X]$ is een veelterm van graad $\ge 2.$
Bewijs dat er een natuurlijk getal $m$ bestaat zodat $P(m!)$ een samengesteld getal is.