N3
Opgave - IMOSL 2005 dag 1 vraag 23
Zij $a,b,c,d,e,f$ $6$ strikt natuurlijke getallen waarvoor geldt dat $abc+def$ alsook $ab+bc+ca-(df+de+ef)$ deelbaar zijn door $S=a+b+c+d+e+f.$
Bewijs dat $S$ samengesteld is, i.e. meer dan $2$ delers heeft.
- login om te reageren
Oplossing
Merk op dat $S \mid (x+a)(x+b)(x+c)-(x-d)(x-e)(x-f)$ voor alle gehele $x$ (makkelijk na te gaan), zo ook voor $x=d$. Dus $S \mid (d+a)(d+b)(d+c)$. Nu kan $S$ niet priem zijn, want $d+a, d+b, d+c$<$S$, dus heeft $S$ meer dan twee delers. Q.E.D.