nog een koorden4hoek

Opgave - IMOSL 2005 dag 1 vraag 14

Gegeven is een driehoek $ABC$ zodat $\left|AC\right| + \left|BC\right| = 3 \left|AB\right|$. De ingeschreven cirkel van $ABC$ heeft middelpunt $I$ en raakt de zijden $BC$ en $CA$ in de punten $D$ en $E$. Noem $K$ en $L$ de reflecties van de punten $D$ en $E$ in $I$. Bewijs dat de punten $A,B,K,L$ op een cirkel liggen.

Oplossing

Zij $S=AK \cup BC$, $T=BL \cup AC$. Dan geldt $|AT|=|CE|=|CD|=|BS|$.
We weten $|BD|+|AE|=|SB|$ (raaklijnen vanuit een punt), dus impliceert $|AC|+|BC|=3|AB|$ dat $|AB|=|CE|=|AT|=|BS|$. Dus $\triangle BAT$ en $\triangle ABS$ zijn gelijkbenig. Zij $s=\angle BSA, t=\angle BTA$.
Zij $J=BL \cup AK$. Dan ligt $J$ op de ingeschreven cirkel van $ABC$, want:
$\angle LJK = 180^{\circ}-s-t = \angle TJS = 360^{\circ}-(180^{\circ}-s+180^{\circ}-t+\angle BCA)$, oftewel $\angle LJK = 180^{\circ}-s-t=90^{\circ}-\frac{\angle BCA}{2}$.
Verder geldt $\angle LDK = \frac{\angle LIK}{2} = \frac{\angle EID}{2} = \frac{180^{\circ} - \angle BCA}{2}$, dus $\angle LDK = LJK$.
Omdat $KLDJ$ een koordenvierhoek is geldt dan $\angle KLJ = \angle KDJ = \angle DSK = s $
omdat $\angle DJK = \angle KDS = 90^{\circ}$ dus zijn $\triangle KDJ$ en $\triangle KSJ$ gelijkvormig.
Dus $\angle BLK = 180^{\circ}-\angle KLJ = 180^{\circ}-s=180^{\circ}-\angle BAK$, dus is ABLK een koordenvierhoek.