USAMO 2023
Dag 1
Vraag 1
In een scherphoekige driehoek $ABC$, laat $M$ het middelpunt zijn van de zijde $BC$. Laat $P$ de voet zijn van de loodlijn vanuit $C$ naar $AM$. Stel dat de omgeschreven cirkel van driehoek $ABP$ lijn $BC$ snijdt op twee verschillende punten $B$ en $Q$. Laat $N$ het middelpunt zijn van zijde $AQ$. Bewijs dat $NB=NC$.
Vraag 2
Laat $\mathbb{R}^+$ de verzameling positieve reële getallen zijn. Vind alle functies $f \colon \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ zodanig dat, voor alle $x, y \in \mathbb{R}^+$,
$$f(xy+f(x))=xf(y)+2.$$
Vraag 3
Beschouw een $n$-bij-$n$ bord van eenheidssquares voor een oneven positief geheel getal $n$. We zeggen dat een verzameling $C$ van identieke dominostenen een maximale grid-gealigneerde configuratie op het bord is als $C$ bestaat uit $(n^2-1)/2$ dominostenen waarbij elke dominosteen precies twee aangrenzende vierkantjes bedekt en de dominostenen elkaar niet overlappen: $C$ bedekt dan alle vierkantjes op één na op het bord. We zijn toegestaan om een dominosteen op het bord te schuiven (maar niet te roteren) om het onbedekte vierkantje te bedekken, wat resulteert in een nieuwe maximale grid-gealigneerde configuratie met een ander onbedekt vierkantje. Laat $k(C)$ het aantal verschillende maximale grid-gealigneerde configuraties zijn die kunnen worden verkregen uit $C$ door herhaaldelijk domino's te schuiven. Vind alle mogelijke waarden van $k(C)$ als een functie van $n$.
Dag 2
Vraag 1
Een positief geheel getal $a$ wordt gekozen, en enkele positieve gehele getallen worden op een bord geschreven. Alice en Bob spelen het volgende spel. In de beurt van Alice moet ze een aantal geheel getal $n$ op het bord vervangen door $n+a$, en in de beurt van Bob moet hij een even getal $n$ op het bord vervangen door $n/2$. Alice gaat eerst en ze wisselen beurten af. Als Bob op zijn beurt geen geldige zetten heeft, eindigt het spel.
Nadat hij de getallen op het bord heeft geanalyseerd, realiseert Bob zich dat, ongeacht welke zetten Alice maakt, hij het spel uiteindelijk kan dwingen om te eindigen. Toon aan dat, in feite, voor deze waarde van $a$ en deze getallen op het bord, het spel gegarandeerd zal eindigen, ongeacht de zetten van Alice of Bob.
Vraag 2
Laat $n\geq3$ een geheel getal zijn. We zeggen dat een rangschikking van de getallen $1$, $2$, $\dots$, $n^2$ in een $n \times n$ tabel rij-geldig is als de getallen in elke rij kunnen worden omgezet in een rekenkundige reeks door permutatie, en kolom-geldig is als de getallen in elke kolom kunnen worden omgezet in een rekenkundige reeks door permutatie. Voor welke waarden van $n$ is het mogelijk om elke rij-geldige rangschikking te transformeren in een kolom-geldige rangschikking door de getallen in elke rij te permuteren?
Vraag 3
Laat $ABC$ een driehoek zijn met de inkering $I$ en de uitkeringen $I_a$, $I_b$ en $I_c$ tegenover $A$, $B$ en $C$ respectievelijk. Laat $D$ een willekeurig punt zijn op de omgeschreven cirkel van $\triangle{ABC}$ dat niet op een van de lijnen $II_a$, $I_bI_c$ of $BC$ ligt. Stel dat de omgeschreven cirkels van $\triangle{DII_a}$ en $\triangle{DI_bI_c}$ elkaar snijden op twee verschillende punten $D$ en $F$. Als $E$ het snijpunt is van de lijnen $DF$ en $BC$, bewijs dan dat $\angle{BAD} = \angle{EAC}$.
