BrMO 1 2017

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Heleen schrijft de resten op van de deling van $365$ door elk van de getallen $1,2,3,\ldots 365.$
Philip schrijft de resten op van de deling van $366$ door elk van de getallen $1,2,3,\ldots 365.$
Beiden berekenen de som van de waarden die ze hebben opgeschreven.
Wie schreef het grootste getal neer en hoe groot was het verschil?

Vraag 2 Opgelost!

Gedurende $100$ dagen, gaat elk van $6$ vrienden exact $75$ keer gaan zwemmen.
Er zijn $n$ dagen waarop minstens $5$ van hen aan het zwemmen waren.
Wat is de maximale en minimale waarde die $n$ kan aannemen?

Vraag 3 Opgelost!

Een gelijkbenige driehoek met tophoek is $A$ heeft $BC$ als langste zijde.
Het punt $N$ is op de zijde $[BC]$ en $|BN|=|AB|.$
De rechte loodrecht op $AB$ door $N$ snijdt $AB$ in $M$.
Bewijs dat de rechte $MN$ zowel de omtrek als de oppervlakte in twee gelijke delen verdeelt.

Vraag 4

Een rij $a_1,a_2,\ldots, a_{2017}$ van positieve reele getallen, voldoet aan
$a_{n+1}+a_n=(a_{n+1}-a_n)^2$ voor elke $ 1 \le n \le 2016$.
Hoeveel waarden kan $a_{2017}$ aannemen?

Vraag 5

Als je van een $2 \times 100$rechthoek, afwisselend een vierkant in een lange rij verwijdert en niet verwijdert, krijg je een $150$kam bestaande uit $150$ eenheidsvierkantjes.
Wat is het kleinste aantal vierkantjes in een $200 \times 200$ vierkant dat je moet kleuren, opdat het nog onmogelijk is een $150$kam te vinden zonder gekleurd vierkantje?

Vraag 6

Mats heeft een stapel met $300$ kaarten genummerd van $1$ tot $300.$
Hij neemt een kaart uit de stapel, één per keer en plaats de gekozen kaarten in een rij, zodat elke nieuwe kaart rechts van de rij geplaatst wordt.
Hij moet de kaarten zo kiezen, dat op ieder moment, het gemiddelde van de waarden van de rij een geheel getal is.
Als hij geen kaart meer kan nemen met voorgaande regel in gedachten, dan stopt hij.

Wat is het maximale aantal kaarten dat hij zo kan selecteren?
Geef een voorbeeld van zo'n rij.