Bravo aan de correctoren: nog eens 1792 keer deze vraag verbeteren

We stellen een schema op met 100 kolommen (één voor elke dag) en 6 rijen (één per persoon), waarbij een kruisje gezet wordt wanneer de persoon op die dag ging zwemmen.
Aangezien er 6 mensen zijn, die elk 75 dagen zwemmen, zijn er $450$ kruisjes gezet.

Het aantal kolommen met minstens $5$ kruisjes kan bijgevolg maximaal $90$ zijn, daar er anders minstens $91*5=455$ kruisjes gezet zouden zijn.

Dit is ook echt mogelijk:
Verdeel de eerste 90 dagen in 6 periodes van elk 15 dagen. Laat dan persoon A zwemmen in alle periodes behalve de 6de, B in alle periodes behalve de 5de, C in alle periodes behalve de 4de, D in alle periodes behalve de 3de, E in alle periodes behalve de 2de en F in alle periodes behalve de 1ste. In de laatste 10 dagen zwemt er niemand.

Dan zwemt elke persoon gedurende exact 5 periodes (75 dagen) en is er in elke periode exact 1 persoon die niet meezwemt, waardoor er gedurende die 90 dagen steeds exact 5 mensen zwemmen.

Op de $n$ dagen met minstens $5$ personen die zwemmen, zijn ze met max. 6 geweest.
Op de andere dagen kunnen er niet meer dan $4$ personen zijn die tegelijk zwommen.

Dit betekent dat het totale aantal kruisjes niet meer kan zijn dan $6n+4(100-n)=400+2n$.
Dus $450 \ge 400+2n \Rightarrow n \ge 25$.

Dus is $n$ minimaal 25.
Dit is ook echt mogelijk:
Laat ten eerste alle 6 vrienden zwemmen tijdens de 1ste 25 dagen.
Verdeel dan de overige 75 dagen in 3 periodes van elk 25 dagen en laat persoon A en B zwemmen in alle periodes behalve de 3de, C en D in alle periodes behalve de 2de en E en F in alle periodes behalve de 1ste.

Dan zwemt elke persoon gedurende exact 2 periodes (50 dagen) en de 25 1ste dagen, en zijn er in elke periode 2 personen die niet meezwemmen, waardoor er gedurende 75 dagen nooit 5 personen op een dag zwemmen.