Bravo aan de correctoren: 1792 keer deze vraag verbeteren
Opgave - BrMO 1 2017 dag 1 vraag 1
Heleen schrijft de resten op van de deling van $365$ door elk van de getallen $1,2,3,\ldots 365.$
Philip schrijft de resten op van de deling van $366$ door elk van de getallen $1,2,3,\ldots 365.$
Beiden berekenen de som van de waarden die ze hebben opgeschreven.
Wie schreef het grootste getal neer en hoe groot was het verschil?
- login om te reageren
Oplossing
Definieer de bewerking $\%$ zodat $a\%b$ de rest is bij deling van $a$ gedeeld door $b$.
Dan is de som van Heleen gelijk aan $365\%1 + 365\%2 + ... + 365\%365$ en die van Philip aan $366\%1 + 366\%2 + ... + 366\%365$.
Het verschil hiervan is dus gelijk aan $$(365\%1 + 365\%2 + ... + 365\%365) - (366\%1 + 366\%2 + ... + 366\%365)$$ $$ = (365\%1 - 366\%1) + (365\%2 - 366\%2) + ... + (365\%365 - 366\%365)$$
We merken dat voor elke $n \in \mathbb N$ geldt dat $366\%n = 365\%n + 1$, behalve als n een deler is van 366. Dan is $366\%n = 0$ en $365\%n = n-1$. Dus wanneer $n \in \{1, 2, 3, 6, 61, 122, 183\}$ is $365\%n - 366\%n = n-1$. ($n$ kan niet gelijk zijn aan 366 of aan negatieve getallen).
Bijgevolg geldt voor $365 - 7 = 358$ haakjes dat ze gelijk zijn aan -1.
De som van de andere haakjes is gelijk aan $0 + 1 + 2 + 5 + 60 + 121 + 182 = 371$.
Dat betekent dat Heleen het grootste getal opschreef en het verschil gelijk was aan $371-358=13.$