oppervlakte en omtrek in 2 delen met één lijn
Opgave - BrMO 1 2017 dag 1 vraag 3
Een gelijkbenige driehoek met tophoek is $A$ heeft $BC$ als langste zijde.
Het punt $N$ is op de zijde $[BC]$ en $|BN|=|AB|.$
De rechte loodrecht op $AB$ door $N$ snijdt $AB$ in $M$.
Bewijs dat de rechte $MN$ zowel de omtrek als de oppervlakte in twee gelijke delen verdeelt.
- login om te reageren
Oplossing
Teken de middelloodlijn $AD$ van driehoek $ABC$ met $D \in [BC].$
Merk op dat driehoeken $\triangle BDA \cong \triangle BMN$ wegens $ZHH$:
$|AB|=|BN|$
$\angle ABD = \angle NBM$
$\angle BDA = \angle BMN = 90^{\circ}$
Dit betekent dat $|BM|+|BN|=|AB|+|BD|$, gelijk is aan de helft van de omtrek van $\triangle ABC$.
Ook is de oppervlakte $\triangle BMN$ gelijk aan die van $\triangle BDA$, wat gelijk is aan de helft van de oppervlakte van $\triangle ABC$.