APMC 2003

Dag 1

Vraag 1

Vind alle veeltermen $p(x)$ zodat $p(x-1)p(x+1)=p(x^2-1)$.

Vraag 2

De rij $a_0,a_1,a_2,\ldots$ wordt gedefinieerd door $a_0=a$, $a_{n+1}=a_n+L(a_n)$, waar $L(m)$ staat voor het laatste cijfer van $m$ (bijvoorbeeld: $L(154)=4$). Veronderstel dat de rij strikt stijgend is. Toon aan dat er oneindig veel termen deelbaar zijn door $d=3$. Voor welke andere $d$ blijft deze stelling waar?

Vraag 3

$ABC$ is een driehoek, en $a=BC,b=CA,c=AB$. Neem de punten $T_1,T_2$ op de zijde $AB$ zodat $AT_1=T_1T_2=T_2B$. Neem analoog de punten $T_3,T_4$ op $BC$ zodat $BT_3=T_3T_4=T_4C$ en de punten $T_5,T_6$ op $CA$ zodat $CT_5=T_5T_6=T_6A$. Toon aan dat als $a'=BT_5,b'=CT_1,c'=AT_3$, dat er dan een driehoek $A'B'C'$ bestaat met zijden $a',b',c'$ (met $a'=B'C',b'=C'A',c'=A'B'$). Op dezelfde manier nemen we de punten $T_i'$ op de zijden van $A'B'C'$ en stellen we $a''=B'T_6',b''=C'T_2',c''=A'T_4'$. Toon aan dat er een driehoek $A''B''C''$ bestaat met zijden $a'',b'',c''$ en dat hij gelijkvormig is met $ABC$. Vind ook $\frac{a''}{a}$.

Dag 2

Vraag 1

Een natuurlijk getal $m$ wordt alpien genoemd als $m|2^{2n+1}+1$ voor een natuurlijk getal $n$. Toon aan dat het product van twee alpiene getallen ook alpien is.

Vraag 2

Een driehoek met zijden $a,b,c$ heeft oppervlakte $S$. De afstanden van zijn zwaartepunt tot de hoekpunten zijn $x,y,z$. Toon aan dat als
$$(x+y+z)^2\leq\frac{a^2+b^2+c^2}2+\frac{2S}3,$$
dat de driehoek gelijkzijdig is.

Vraag 3

$ABCD$ is een viervlak zodanig dat we een sfeer $k(A,B,C)$ door $A,B,C$ kunnen vinden die het vlak $BCD$ snijdt in de cirkel met diameter $BC$, het vlak $ACD$ snijdt in de cirkel met diameter $AC$, en het vlak $ABD$ snijdt in de cirkel met diameter $AB$. Toon aan dat er sferen $k(A,B,D),k(B,C,D),k(C,A,D)$ bestaan met analoge eigenschappen.

Dag 3

Vraag 1

Stel $\displaystyle{f(n)=\frac{n^n-1}{n-1}}$. Toon aan dat $n!^{f(n)}|(n^n)!$. Vind zoveel mogelijk natuurlijke getallen waarvoor $(n^n)!$ niet deelbaar is door $n!^{f(n)+1}$.

Vraag 2

Gegeven de reële getallen $x_1\geq x_2\geq\ldots\geq x_{2003}\geq0$, toon aan dat
$$\sum_{i=1}^{2003}(-1)^{i+1}x_i^n\geq\left(\sum_{i=1}^{2003}(-1)^{i+1} x_i\right)^n$$
voor alle natuurlijke getallen $n$.

Vraag 3

Neem een willekeurige verzameling van 26 verschillende getallen uit de verzameling $\{1,...,100\}$. Toon aan dat er altijd een niet-lege deelverzameling is van deze 26 getallen, waarvan het product van de elementen een volkomen kwadraat is.

Vraag 4

Wat is het kleinst aantal $5\times1$ tegels die op een $31\times5$ rechthoek (iedere tegel omvat precies 5 eenheidsvierkanten) geplaatst moet worden zodat er geen tegels meer bij geplaatst kunnen worden? Hoeveel manieren zijn er om dit minimum aantal te leggen (zodat het leggen van verdere tegels geblokkeerd wordt)? Wat zijn de antwoorden voor een $52\times5$ rechthoek?