APMC 2002
Dag 1
Vraag 1 Opgelost!
Vind alle drietallen $(a,b,c)$ van natuurlijke getallen zodat $2^c-1|2^a+2^b+1$.
Vraag 2
Zij $P_1P_2\ldots P_{2n}$ een convexe veelhoek met een even aantal hoeken. Bewijs dat er een diagonaal $P_iP_j$ bestaat die niet parallel is met eender welke zijde van de veelhoek.
Vraag 3 Opgelost!
Zij $ABCD$ een viervlak en $S$ zijn zwaartepunt. Een rechte door $S$ snijdt het oppervlak van $ABCD$ in de punten $K$ en $L$. Bewijs dat
$$\frac13\leq\frac{KS}{LS}\leq3.$$
Dag 2
Vraag 1
Vind voor ieder natuurlijk getal $n$ de grootste deelverzameling $M(n)$ van reële getallen die de volgende eigenschap bezit:
$$n+\sum_{i=1}^nx_i^{n+1}\geq n\prod_{i=1}^nx_i+\sum_{i=1}^nx_i,\ \ \forall x_1,x_2,\ldots,x_n\in M(n).$$
Wanneer treedt gelijkheid op?
Vraag 2 Opgelost!
Stel $A=\{2,7,11,13\}$. Een veelterm $f$ met gehele coëfficiënten bezit de volgende eigenschap: voor ieder geheel getal $n$ bestaat er een $p\in A$ zodat $p|f(n)$. Bewijs dat er een $p\in A$ bestaat zodat $p|f(n)$ voor alle $n$.
Vraag 3
De diagonalen van een convexe vierhoek $ABCD$ snijden elkaar in $E$. Zij $U$ het midden van de omgeschreven cirkel van $\triangle ABE$ en $H$ het hoogtepunt van $\triangle ABE$. Analoog is $V$ het midden van de omgeschreven cirkel van $\triangle CDE$ en $K$ zijn hoogtepunt. Bewijs dat $E$ op de rechte $UK$ ligt als en slechts als het op de rechte $VH$ ligt.
Dag 3
Vraag 1 Opgelost!
Vind alle $f\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}$ die voldoen aan:
(i) $f(x+22)=f(x)$,
(ii) $f(x^2y)=(f(x))^2f(y)$
voor alle $x,y\in\mathbb{N}$.
Vraag 2
Bepaal het aantal reële oplossingen van het stelsel
$$\left\{\begin{array}l\cos x_1=x_2\\ \ldots\\ \cos x_{n-1}=x_n\\ \cos x_n=x_1.\end{array}$$
Vraag 3 Opgelost!
Een verzameling $P$ van 2002 personen is gegeven. De familie van deelverzamelingen van $P$ die precies 1001 personen bevatten heeft de volgende eigenschap: het aantal koppels dat elkaar kent in iedere deelverzameling is gelijk (in de veronderstelling dat elkaar kennen een symmetrische relatie is). Vind het minimum aantal koppels personen die elkaar kennen in de verzameling $P$, als er minstens 1 zo'n koppel is.
Vraag 4
Voor alle reële getallen $x$, beschouw de familie $F(x)$ van alle rijen $(a_n)_{n\geq0}$ die voldoen aan
$$a_{n+1}=x-\frac1{a_n}\ \ (n\geq0).$$
Een natuurlijk getal $p$ wordt een een minimale periode van de familie $F(x)$ genoemd als
(i) iedere rij $(a_n)\in F(x)$ is periodiek met periode $p$,
(ii) voor iedere $0
