functievergelijking

$-x \pmod 2 \not= -(x \bmod 2)$. ;)
$f(x)=x \pmod 2$ is trouwens geen functie, maar een equivalentierelatie.

Anyway, ik zou het zo doen, maar ik ga niet zeggen dat ik het mooi vind:

Stel $f(0)=c$. Als $c\not=0$ dan geeft $x=0$ dat $f(0)=f(0)f(y)$, dus $\boxed{\forall y f(y)=1}$.

Anders $c=0$ en $f(22k)=0,\ k\in\mathbb{Z}$. Daar $0=f(2^{2k}.11)=f(2^k)^2.f(11)$, is
- ofwel $f(11)=0$, waaruit volgt $f(11k)=0,\ k\in\mathbb{Z}$, en daar $2^k$ alle waarden mod 11 doorloopt is $\boxed{\forall y f(y)=0}$
- ofwel $f(2^k)=0$, die doorloopt alle even waarden mod 22, dus $f(2k)=0,\ k\in\mathbb{Z}$. Als $f(1)=0$ dan $f(11)=f(11).f(1)^2=0$, dus $f(1)=f(1)^3 \Rightarrow f(1)=\pm1$. En voor alle oneven $k$ volgt dus $f(k)=f(11^2k)=f(11k)=f(11)=f(1)$, dus $\forall y \boxed{f(y) = y \bmod 2}$ of $\forall y \boxed{f(y) = -(y \bmod 2)}$.