Home › Archief › Nationale en Regionale Olympiades › Midden-Europa › APMC › 2002 › viervlak

viervlak

Tags:

Opgave - APMC 2002 dag 1 vraag 3

Zij $ABCD$ een viervlak en $S$ zijn zwaartepunt. Een rechte door $S$ snijdt het oppervlak van $ABCD$ in de punten $K$ en $L$. Bewijs dat

$$\frac13\leq\frac{KS}{LS}\leq3.$$

Oplossing

Ingediend door Juan

We noemen $Z_{\triangle X}$ het zwaartepunt van $\triangle X$. Neem $ABC$ als grondvlak. Beschouw eerst $L$ als snijpunt met dit grondvlak. Construeer door $K$ de evenwijdige met $ABC$ in het vlak opgespannen door $SZ_{\triangle ABC}$ en noem het snijpunt met $Z_{\triangle ABC}S$ $K'$., zodat twee gelijkvormige driehoeken ontstaan: $\triangle KK'S$ en $\triangle LZ_{\triangle ABC}S$. $\frac{KS}{LS}=\frac{K'S}{SZ_{ABC}}\leq \frac{DS}{SZ_{ABC}}=3$. De andere ongelijkheid bekomt men door de rol van $K$ en $L$ om te wisselen.