APMC 1996
Dag 1
Vraag 1
Zij $k\geq1$ een natuurlijk getal. Bewijs dat er precies $3^{k-1}$ natuurlijke getallen $n$ bestaan die voldoen aan volgende voorwaarden:
(i) $n$ heeft precies $k$ cijfers in zijn decimale voorstelling,
(ii) alle cijfers van $n$ zijn oneven,
(iii) $n$ is deelbaar door 5,
(iv) het getal $m=n/5$ heeft $k$ oneven cijfers (in de decimale voorstelling).
Vraag 2
Een convexe zeshoek $ABCDEF$ voldoet aan de volgende eigenschappen:
(i) de tegenoverliggende zijden zijn parallel,
(ii) de afstanden tussen de tegenoverliggende zijden zijn gelijk,
(iii) $\angle FAB=\angle CDE=90^\circ.$
Bewijs dat de hoek tussen de diagonalen $BE$ en $CF$ gelijk is aan $45^\circ$.
Vraag 3 Opgelost!
De veeltermen $P_n(x)$ zijn recursief gedefinieerd door
$$P_0(x)=0,\ \ P_1(x)=x,\ \ P_n(x)=xP_{n-1}(x)+(1-x)P_{n-2}(x), n\geq2.$$
Vind voor ieder natuurlijk getal $n$, de reële getallen $x$ met $P_n(x)=0$.
Dag 2
Vraag 1 Opgelost!
De reële getallen $x,y,z,t$ voldoen aan de gelijkheden $x+y+z+t=0$ en $x^2+y^2+z^2+t^2=1$. Bewijs dat $-1\leq xy+yz+zt+tx\leq0$.
Vraag 2
Een convex veelvlak $\cal P$ en een sfeer $\cal S$ worden in de ruimte geplaatst zodanig dat $\cal S$ van iedere ribbe $AB$ van $\cal P$ het lijnstuk $XY$ met
$$|AX|=|XY|=|YB|=\frac13|AB|.$$
Bewijs dat er een sfeer bestaat die raakt aan alle ribben van $\cal P$.
Vraag 3 Opgelost!
Twee natuurlijke getallen $k,n$ met $1
x_1^3\cdot(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_{k}^2)=x_n^2,\\
x_2^3\cdot(x_2^2+x_3^2+\cdots+x_{k+1}^2)=x_1^2,\\
\vdots\\
x_n^3\cdot(x_n^2+x_1^2+\cdots+x_{k-1}^2)=x_{n-1}^2.\end{array}
\right.$$
Dag 3
Vraag 1
Bewijs dat er geen natuurlijke getallen $k,m$ bestaan waarvoor geldt dat $k!+48=48(k+1)^m$.
Vraag 2
Bewijs dat er geen veelterm $P(x)$ van graad 998 bestaat met reële coëfficiënten zodat voor alle reële $x$ de volgende gelijkheid geldt: $P(x)^2-1=P(x^2+1)$.
Vraag 3
We hebben balkvormige blokken, waaronder geen enkele kubus. De lengtes van de zijden van de blokken zijn natuurlijke getallen. Voor elke drietal $(a,b,c)$ van natuurlijke getallen zodat de gelijkheid $a=b=c$ niet opgaat, hebben we een voldoende aantal blokken van dimensie $a\times b\times c$ ter beschikking. Zij de doos $10\times10\times10$ opgevuld met onze blokken.
(i) Veronderstel dat we minimum 100 blokken gebruikt hebben. Bewijs dat er op zijn minst twee blokken met dezelfde dimensies parallel geplaatst zijn.
(ii) Vind een minimum aantal blokken (minder dan 100) waarvoor dit nog altijd geldt.
