ongelijkheid
Opgave - APMC 1996 dag 2 vraag 1
De reële getallen $x,y,z,t$ voldoen aan de gelijkheden $x+y+z+t=0$ en $x^2+y^2+z^2+t^2=1$. Bewijs dat $-1\leq xy+yz+zt+tx\leq0$.
- login om te reageren
Olympia
Nederlandstalig olympiadeproject
Zoeken
Random generator
Niveau
Wie is online
Er zijn momenteel 0 gebruikers en 2 gasten online.
Oplossing
Enerzijds is $$xy+yz+zt+tx=(t+y)(x+z)=-(x+z)^2\le0,$$ anderzijds is wegens AM-GM $${|xy+yz+zt+tx|=|(t+y)(x+z)|\le \frac{(t+y)^2+(x+z)^2}2\le \frac{2(t^2+y^2)+2(x^2+z^2)}{2}=1,}$$ waaruit het gevraagde volgt.