recursieve veelterm

Opgave - APMC 1996 dag 1 vraag 3

De veeltermen $P_n(x)$ zijn recursief gedefinieerd door
$$P_0(x)=0,\ \ P_1(x)=x,\ \ P_n(x)=xP_{n-1}(x)+(1-x)P_{n-2}(x), n\geq2.$$
Vind voor ieder natuurlijk getal $n$, de reële getallen $x$ met $P_n(x)=0$.

Oplossing

Zij $q_n(x)=\frac{x}{x-2}\big((x-1)^n-1\big)$. Daar $x-2|(x-1)^n-1$ is dit een veelterm. Dan geldt dat $q_0(x)=0$, $q_1(x)=x$ en $$\begin{array}{rcl}xq_{n-1}(x)+(1-x)q_{n-2}(x) &=& x\frac{x}{x-2}((x-1)^{n-1}-1) + (1-x)\frac{x}{x-2}((x-1)^{n-2}-1) \\ &=& \frac{x}{x-2}\left(x(x-1)^{n-1}-x+(-(x-1)^{n-1}-(1-x))\\ &=& q_n(x),\end{array} $$ dus daar de recusiebetrekking $P_n(x)$ uniek bepaalt, is $P_n(x)=q_n(x)$.

Dat $x=0$ een wortel is, is duidelijk. Als $x\not=0$ een wortel is, dan moet $(x-1)^n-1=0$, dus $x-1=\pm1$, dus kan alleen een enkele wortel $x=2$, maar die geeft geen wortel van $P_n(x)$ omdat je door $x-2$ moet delen. Dus enkel $x=0$.