stelsel
Opgave - APMC 1996 dag 2 vraag 3
Twee natuurlijke getallen $k,n$ met $1
x_1^3\cdot(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_{k}^2)=x_n^2,\\
x_2^3\cdot(x_2^2+x_3^2+\cdots+x_{k+1}^2)=x_1^2,\\
\vdots\\
x_n^3\cdot(x_n^2+x_1^2+\cdots+x_{k-1}^2)=x_{n-1}^2.\end{array}
\right.$$
- login om te reageren
Oplossing
Door cycliciteit mogen we $x_n$ die nemen met de kleinste absolute waarde. Als $x_n=0$, dan volgt uit de $i$-de vergelijking dat $x_i=0$ voor achtereenvolgens $i=1,...,n-1$.
Zoniet is $x_i>0$ voor alle $i$ (kijk naar de $i$-de vergelijking). Aangezien $x_n$ de kleinste is, is $x_n^2\le x_k^2$, dus $x_n^2+x_1^2+\ldots+x_{k-1}^2\le x_1^2+\ldots+x_{k}^2$, en ook $x_n^3\le x_1^3$. Dus is $x_{n-1}^2\le x_n^2$, dus is $x_{n-1}=x_n$ ook de kleinste. Door de redenering te herhalen krijgen we dus dat $x_n=x_{n-1}=\ldots=x_2=x_1$, en dus moet $kx^5=x^2$, dus $x_i=k^{-1/3}$ voor alle $i$.