APMC 1995

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Zij $n$ een natuurlijk getal. Bepaal alle oplossingen $(a_1,\ldots,a_n)$ van het volgende stelsel van vergelijkingen

$$\left\{\begin{array}{rcccc}a_3&=&a_2&+&a_1,\\a_4&=&a_3&+&a_2,\\
\vdots&&\vdots&&\vdots\\a_n&=&a_{n-1}&+&a_{n-2}\\a_1&=&a_n&+&a_{n-1},\\ a_2&=&a_1&+&a_n,\end{array}\right.$$
waarbij $a_1,\ldots,a_n$ reële getallen zijn.

Vraag 2

Noem $X$ de verzameling van de vier verschillende punten $A_1,A_2,A_3,A_4$ in het vlak. Bewijs dat er een deelverzameling $Y$ van $X$ bestaat met de volgende eigenschap: Er bestaat geen gesloten schijf $K$ zodat $K\cap X=Y$.

Vraag 3

Zij $P(x)=x^4+x^3+x^2+x+1$. Bewijs dat er twee veeltermen $Q(y)$ en $R(y)$ bestaan met graad groter dan of gelijk aan 1, met gehele coëfficiënten, zodat voor alle $y$ geldt dat $Q(y)\cdot R(y)=P(5y^2)$.

Dag 2

Vraag 1 Opgelost!

Bepaal alle veeltermen $P(x)$ met reële coëfficiënten, zodat voor alle $x\neq0$ geldt dat
$$(P(x))^2+(P(\frac1x))^2=P(x^2)P(\frac1{x^2}).$$

Vraag 2

Gegeven een gelijkzijdige driehoek $ABC$ met $A_1$ het midden van $BC$, $B_1$ het midden van $AC$ en $C_1$ het midden van $AB$. Zij $p,q,r$ drie verschillende parallelle rechten zodat $A_1\in p,B_1\in q,C_1\in r$. De rechte $p,q,r$ snijden de rechten $B_1C_1,A_1C_1,A_1B_1$ respectievelijk in $A_2,B_2,C_2$. Bewijs dat de rechten $AA_2,BB_2,CC_2$ concurrent zijn en dat hun snijpunt op de omgeschreven cirkel van $ABC$ ligt.

Vraag 3

De Alpineclub, die bestaat uit $n$ leden, organiseert vier bergwandelingen voor hun leden. Zij $E_1,E_2,E_3,E_4$ de teams die meedoen aan deze vier wandelingen. Op hoeveel manieren kunnen we deze teams kiezen met de voorwaarden dat
$$E_1\cap E_2\neq\emptyset,\ \ \ \ E_2\cap E_3\neq\emptyset,\ \ \ \ E_3\cap E_4\neq\emptyset.$$

Dag 3

Vraag 1

Voor ieder geheel getal $c$ beschouwen de vergelijking
$$3y^4+4cy^3+2xy+48=0.$$
In deze vergelijking zijn $x$ en $y$ gehele getallen. Bepaal alle gehele getallen $c$, zodat het aantal gehele oplossingen $(x,y)$, die ook voldoen aan voorwaarden (i) en (ii), maximaal is.
(i) Het getal $|a|$ is een volkomen kwadraat.
(ii) Het getal $y$ is kwadraatvrij, dit wil zeggen dat er geen priemgetal $p$ bestaat zodat $p^2|y$.

Vraag 2

Beschouw de kubus waarvan de acht hoekpunten de coördinaten $(\pm1,\pm1,\pm1)$ hebben, dit is de verzameling van punten
$$\{(x,y,z)|x|\leq1,|y|\leq1,|z|\leq1\}.$$
$V_1,V_2,\ldots,V_{95}$ zijn willekeurige punten van deze kubus. Noteer met $v_i$ de vector van het punt $(0,0,0)$ naar het punt $V_i$. Beschouw de 95 vectoren van de vorm $s_1v_1+s_2v_2+\cdots+s_{95}v_{95}$, waar $s_i=\pm1$.
(i) Zij $d=48$, bewijs dat er onder deze vectoren een vector $w=(a,b,c)$ bestaat zodat $a^2+b^2+c^2\leq d$.
(ii) Vind een getal $d<48$ met dezelfde eigenschap.
(Noot: hoe kleiner het getal $d$, hoe hoger de score.)

Vraag 3

Bewijs dat voor alle natuurlijke getallen $m,n\geq1$ en voor alle positieve reële getallen $x,y$ de volgende ongelijkheid geldt:
$${(n-1)(m-1)(x^{n+m}+y^{n+m})+(n+m-1)(x^ny^m+x^my^n)\geq nm(x^{n+m-1}y+xy^{n+m-1}).}$$