bepaal alle veeltermen

Stel $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0$ met $a_i \in \mathbb{R}$ voor alle $i$ een veelterm van graad $n>0$; er geldt dus $a_n \not = 0$.
Volgens het gegeven geldt dan
$\begin{eqnarray*} (a_n x^n + \ldots + a_0)^2 + (a_n \left(\frac{1}{x}\right)^n + \ldots + a_0)^2 & = & \left(a_n x^{2n} + a_{n-1} x^{2n-1} + \ldots + a_0 \right) \cdot \\ & & (a_n \left(\frac{1}{x}\right)^{2n} + a_{n-1} \left(\frac{1}{x} \right)^{2n-1} + \ldots + a_0). \end{eqnarray*} $
Merk eerst op dat $a_0 \not= 0$. Stel immers van wel, dan is $2n=\mbox{grd(LL)} > 2n-1 \geq \mbox{grd(RL)}$, waarbij LL en Rl het linker- respectievelijk rechterlid is. Dus $p(0) \not= 0$. We gaan nu de constante termen, dit wil zeggen alle termen $a_i x^0$, in zowel linker- als rechterlid bekijken. Het is evident dat deze coëfficiënten gelijk moeten zijn.
In het linkerlid zijn de constante termen gelijk aan $2 a_{0}^{2}$. In het rechterlid hebben we duidelijk $ a_{0}^{2} + a_{1}^{2} + \ldots + a_{n}^{2}$.
Dus $a_{0}^{2} = a_{1}^{2} + \ldots + a_{n}^2$. We doen nu hetzelfde voor de termen bij $x^n$. Links hebben we $a_{n}^{2}$, en rechts $a_n \cdot a_0$. Omdat $a_n \not= 0$, moet $a_n = a_0$. Dus $a_{1}^2 + \ldots + a_{n-1}^{2} = 0$. Er volgt $a_1 = \ldots = a_{n-1} = 0$. We hebben nu dus $p(x) = a_{n} x^{n} + a_0$. Omdat $p(1)=a_n + a_0=0$ geldt $p(x) = a \cdot (x^n + 1)$ voor een zekere $a \in \mathbb{R}$. Vullen we deze veelterm opnieuw in de voorwaarde in, dan moet $$ a^2 (x^n -1)^2 + a^2 ( \frac1{x^n} -1)^2 = a^2 (x^{2n} -1) (\frac1{x^n}-1)$$
gelden voor alle $x \in \mathbb{R}_0$. Omdat $a \not= 0$ vinden we na uitrekenen dat $$(x^n -1)^2 \cdot (x^{2n}+x^n+1)=0.$$ Dus $x^n=1$ voor alle $x$, hetgeen absurd is. De enige mogelijke veelterm $p$ die voldoet is dus de constante veelterm $p(x)=c$. Omdat $p(1)=0$ moet $p(x)=0$ voor alle $x \in \mathbb{R}$. Bijgevolg voldoet alleen de nulveelterm $p \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} x \mapsto 0$. $\blacksquare$