Home › Archief › Nationale en Regionale Olympiades › Midden-Europa › APMC › 1995 › kubus

kubus

Tags:

Opgave - APMC 1995 dag 3 vraag 2

Beschouw de kubus waarvan de acht hoekpunten de coördinaten $(\pm1,\pm1,\pm1)$ hebben, dit is de verzameling van punten

$$\{(x,y,z)|x|\leq1,|y|\leq1,|z|\leq1\}.$$

$V_1,V_2,\ldots,V_{95}$ zijn willekeurige punten van deze kubus. Noteer met $v_i$ de vector van het punt $(0,0,0)$ naar het punt $V_i$. Beschouw de 95 vectoren van de vorm $s_1v_1+s_2v_2+\cdots+s_{95}v_{95}$, waar $s_i=\pm1$.
(i) Zij $d=48$, bewijs dat er onder deze vectoren een vector $w=(a,b,c)$ bestaat zodat $a^2+b^2+c^2\leq d$.
(ii) Vind een getal $d<48$ met dezelfde eigenschap.
(Noot: hoe kleiner het getal $d$, hoe hoger de score.)