APMC 1991

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Toon aan dat er oneindig veel natuurlijke getallen $m>1$ zodat $\displaystyle{\binom m2=3\binom n4}$ voor een natuurlijk getal $n>3$. Vind alle dergelijke $m$.

Vraag 2

Vind alle reële oplossingen voor
$$(x^2-6x+13)y=20$$
$$(y^2-6y+13)z=20$$
$$(z^2-6z+13)x=20.$$

Vraag 3

$A_1$ en $A_2$ zijn twee verschillende punten in het vlak. Vind alle punten $A_3$ waarvoor we een $n>2$ en punten $P_1,P_2,\ldots,P_n$ (niet noodzakelijk verschillend) zodat de middens van $P_1P_2,P_2P_3,\ldots,P_{n-1}P_n,P_nP_1$ respectievelijk $A_1,A_2,A_3,A_1,A_2,A_3,A_1,\ldots$ zijn.

Dag 2

Vraag 1

De veelterm $p(x)$ is positief voor alle $0\leq x\leq1$. Toon aan dat er veeltermen $q(x),r(x),s(x)$ bestaan zodat $p(x)=q(x)+xr(x)+(1-x)s(x)$, voor alle $x$.

Vraag 2 Opgelost!

Toon aan dat voor alle reële $x,y,z$ met $xyz=1$ geldt dat
$$x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx\geq2(\sqrt x+\sqrt y+\sqrt z).$$

Vraag 3

Zij $ABCD$ een convexe vierhoek met $P$ een inwendig punt zodat de oppervlakten van $PAB,PBC,PCD,PDA$ gelijk zijn. Toon aan dat de oppervlakte van $ABC$ gelijk is aan die van $ADC$ of dat de oppervlakte van $BCD$ gelijk is aan die van $BAD$.

Dag 3

Vraag 1 Opgelost!

Vind de maximumwaarde van $\displaystyle{\frac{x+x^2+x^3+\cdots+x^{2n-1}}{(1+x^n)^2}}$ voor reële $x$ en alle waarden van $x$ waarvoor dit maximum bereikt wordt.

Vraag 2

Vind alle oplossingen voor
$$ab\equiv-1\text{ (mod }c\text{)}$$
$$bc\equiv1\text{ (mod }a\text{)}$$
$$ca\equiv1\text{ (mod }b\text{)}.$$
met $a,b,c$ drie verschillende natuurlijke getallen en één ervan is 19.

Vraag 3

Zij $X=\{1,..,2n\}$. $gX\rightarrow X$ is een functie zodat $g(k)\neq k$ en $g(g(k))=k$ voor alle $k$. Hoeveel functies $f=X\rightarrow X$ bestaan er zodat $f(k)\neq k$ en $f(f(f(k)))=g(k)$ voor alle $k$?