vind alle m
Opgave - APMC 1991 dag 1 vraag 1
Toon aan dat er oneindig veel natuurlijke getallen $m>1$ zodat $\displaystyle{\binom m2=3\binom n4}$ voor een natuurlijk getal $n>3$. Vind alle dergelijke $m$.
- login om te reageren
Olympia
Nederlandstalig olympiadeproject
Zoeken
Random generator
Niveau
Wie is online
Er zijn momenteel 0 gebruikers en 0 gasten online.
Oplossing
De gegeven vergelijking is equivalent met $4m(m-1) = n(n-1)(n-2)(n-3) = (n^2-3n)(n^2-3n+2) = (n^2-3n+1)^2-1$, hetgeen dan weer equivalent is met $(2m-1)^2 = (n^2-3n+1)^2$. Alle paren $$(m,n)\in\left\{\left(\frac{1}{2}k(k-3)+1,k\right)\ |\ k\in\mathbb{N}\right\}$$voldoen dus aan de gegeven vergelijking.
Yep. Noteer dat $\frac{1}{2}k(k-3)+1=\frac{(k-1)(k-2)}{2}=\binom{k-1}{2}$, voor de elegantste formulering. Eigenlijk kun je $3\binom{n}{4}$ dus gewoon herschrijven als $\binom{\binom{n-1}{2}}{2}$.