minimumwaarde

Kies $x > 0$ vast, dan is, volgens AM-GM, $$x^k \leq \frac{kx^n + (n - k)}{n}$$ voor elke $k \in \{1,2,\,\cdots,n - 1\}.$ Sommeren geeft $$\sum_{k = 1}^{n - 1} x^k \leq \frac{n - 1}{2}\left(1 + x^n\right)$$ zodat $$\sum_{k = 1}^{2n - 1} x^k = x^n + \left(1 + x^n\right)\sum_{k = 1}^{n - 1} x^k \leq x^n + \frac{n - 1}{2}\left(1 + x^n\right)^2 \leq \frac{2n - 1}{4}\left(1 + x^n\right)^2.$$ Bijgevolg is het maximum hoogstens $\frac14(2n - 1)$.

Omdat deze waarde bereikt wordt voor $x = 1$, is dit ook echt het maximum.

[Het is trouwens vrij evident dat voor $x \neq 1$ het maximum niet bereikt wordt...]