APMC 1980

Dag 1

Vraag 1

$A,B,C$ zijn drie oneindige rekenkundige rijen van natuurlijke getallen. Toon aan dat, als $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ een deelverzameling van hun unie is, dat 1980 dan ook tot hun unie behoort.

Vraag 2 Opgelost!

$1=a_1

Vraag 3

$P$ is een punt aan de binnenkant van een viervlak $ABCD$. Toon aan dat $\angle APB+\angle APC+\angle APD+\angle BPC+\angle BPD+\angle CPD>540^\circ$.

Dag 2

Vraag 1 Opgelost!

Zij $S$ een niet-lege verzameling van natuurlijke getallen, dan is $p(S)$ de inverse van het product van de termen uit $S$. Toon aan dat $\sum p(S)=n$, waar de som wordt genomen over alle niet-lege deelverzamelingen van $\{1,2,...,n\}$.

Vraag 2

$ABC$ is een driehoek, met $A'$ op $BC$ verschillend van $B$ en $C$. $P_A$ is de middelloodlijn van $AA'$. De rechten $P_B$ en $P_C$ worden analoog geconstrueerd. Toon aan dat $P_A,P_B$ en $P_C$ niet collineair zijn.

Vraag 3

De reële getallen $x_1,x_2,x_3,...$ voldoen aan $|x_{m+n}-x_m-x_n|\leq1$ voor alle $m,n\in\mathbb N$. Toon aan dat $|\frac{x_m}m-\frac{x_n}n|<\frac1m+\frac1n$ voor alle $m,n\in\mathbb N$.

Dag 3

Vraag 1 Opgelost!

Vind het grootste natuurlijk getal $n$ waarvoor we $n-1$ verschillende natuurlijke getallen $a_1

Vraag 2

Gegeven zijn 1980 punten in het vlak, waarvan er geen twee op een afstand kleiner dan 1 van elkaar liggen. Toon aan dat we een deelverzameling kunnen vinden van 220 punten, zodat er geen twee op een afstand kleiner dan $\sqrt3$ van elkaar liggen.

Vraag 3

$C$ is een willekeurig punt op de raaklijn $l$ die in $A$ raakt aan de cirkel $K$. $D_1,D_2,E_1,E_2$ zijn punten op de cirkel zodat $C,D_1,E_1$ collineair zijn in die volgorde, en $C,D_2,E_2$ collineair zijn in die volgorde. $AB$ is een diameter van de cirkel en de raaklijn in $B$ snijdt de lijnen $AD_1,AD_2,AE_1,AE_2$ in $M_1,M_2,N_1,N_2$ respectievelijk. Toon aan dat $M_1M_2=N_1N_2$.