som der producten
Opgave - APMC 1980 dag 2 vraag 1
Zij $S$ een niet-lege verzameling van natuurlijke getallen, dan is $p(S)$ de inverse van het product van de termen uit $S$. Toon aan dat $\sum p(S)=n$, waar de som wordt genomen over alle niet-lege deelverzamelingen van $\{1,2,...,n\}$.
- login om te reageren
Oplossing
Stel $\Pi = \left(1 + \frac11\right)\left(1 + \frac12\right)\left(1 + \frac13\right)\cdots\left(1 + \frac1n\right)$. Het is duidelijk dat de gevraagde som gelijk is aan $\Pi - 1$.
Het resultaat volgt omdat $\Pi = \frac{2}{1} \frac{3}{2}\frac{4}{3} \cdots \frac{n + 1}{n} = n + 1$.