APMC 1978
Dag 1
Vraag 1 Opgelost!
Vind alle functies $f\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ die voldoen aan $f(x+y)=f(x^2+y^2)$ voor alle $x,y\in\mathbb R$.
Vraag 2
Een parallellogram heeft zijn hoekpunten op de omtrek van een regelmatige zeshoek en zijn midden valt samen met het midden van de zeshoek. Toon aan dat de oppervlakte van het parallellogram maximum 2/3 is van de oppervlakte van de zeshoek.
Vraag 3 Opgelost!
Zij $x=1^\circ$. Toon aan dat
$$\sqrt[44]{\tan x\tan2x...\tan44x}<\sqrt2-1<\frac{\tan x+\tan2x+\cdots+\tan44x}{44}.$$
Dag 2
Vraag 1
Gegeven een positief rationaal getal $k$ verschillend van 1, toon aan dat we de verzameling van de natuurlijke getallen kunnen verdelen in twee deelverzamelingen $A_k$ en $B_k$, zodat, als $m$ en $n$ beiden in $A_k$ of $B_k$ zitten, dan $m/n\neq k$.
Vraag 2 Opgelost!
De verzamelingen $A_1,A_2,...,A_{1978}$ hebben elk 40 elementen, en de doorsnede tussen elke twee verschillende verzamelingen bevat juist 1 element. Toon aan dat de doorsnede van al de verzamelingen ook juist 1 element bevat.
Vraag 3
$S$ is een verzameling van schijven in het vlak (een schijf is een cirkel met de binnenliggende punten inbegrepen). Geen enkel punt behoort tot de binnenkant van meer dan één schijf. Iedere schijf heeft een punt gemeenschappelijk met op zijn minst zes andere schijven. Toon aan dat $S$ oneindig is.
Dag 3
Vraag 1 Opgelost!
$S$ is een eindige verzameling rasterpunten in het vlak zodat we een bijectie $fS\rightarrow S$ kunnen vinden die voldoet aan $|P-f(P)|=1$ voor alle $P\in S$. Toon aan dat we een bijectie $gS\rightarrow S$ kunnen vinden zodat $|P-g(P)|=1$ voor alle $P\in S$ en $g(g(P))=P$ voor alle $P\in S$.
Vraag 2 Opgelost!
Zij $k$ een natuurlijk getal, dan definiëren we $a_1=\sqrt k$ en $a_{n+1}=\sqrt{k+a_n}$. Toon aan dat de rij $a_n$ convergeert en vind alle $k$ zodat de limiet een geheel getal is. Toon ook aan dat als $k$ oneven is, dat de limiet irrationaal is.
Vraag 3 Opgelost!
$P$ is een convexe veelhoek. Enkele van de diagonalen zijn getekend zodat geen enkel punt binnen de veelhoek op meer dan één diagonaal ligt. Toon aan dat op zijn minst twee hoekpunten van $P$ niet op een diagonaal liggen.
