bijectie in het vlak
Opgave - APMC 1978 dag 3 vraag 1
$S$ is een eindige verzameling rasterpunten in het vlak zodat we een bijectie $fS\rightarrow S$ kunnen vinden die voldoet aan $|P-f(P)|=1$ voor alle $P\in S$. Toon aan dat we een bijectie $gS\rightarrow S$ kunnen vinden zodat $|P-g(P)|=1$ voor alle $P\in S$ en $g(g(P))=P$ voor alle $P\in S$.
- login om te reageren
Oplossing
Zij $S_e \subseteq S$ en $S_o \subseteq S$ respectievelijk de verzamelingen van roosterpunten $(x,y) \in S$ zodat $x + y$ even is en zodat $x + y$ oneven is. Als $P \in S_e$ en $\left|P - f(P)\right| = 1$, dan is $f(P) \in S_o$, en omgekeerd. Bijgevolg induceert $f$ een bijectie van $S_e$ naar $S_o$. Definieer nu $g(P) = f(P)$ als $P \in S_o$ en $g(P) = f^{-1}(P)$ als $P \in S_e$. Het is duidelijk dat $g$ een bijectie van $S$ naar $S$ is die elk punt $P$ afbeeldt op een punt $g(P)$ waarvoor $\left|P - g(P)\right| = 1$. Het is een triviale oefening om te controleren dat $g \circ g$ de identieke is en we zijn klaar.