convexe veelhoek
Opgave - APMC 1978 dag 3 vraag 3
$P$ is een convexe veelhoek. Enkele van de diagonalen zijn getekend zodat geen enkel punt binnen de veelhoek op meer dan één diagonaal ligt. Toon aan dat op zijn minst twee hoekpunten van $P$ niet op een diagonaal liggen.
- login om te reageren
Oplossing
Eén diagonaal moet juist $2$ hoekpunten bepalen, omdat de veelhoek convex is.
Als geen enkele diagonaal getekend wordt is het probleem opgelost.
We tekenen dus een diagonaal $a$ tussen twee hoekpunten $A_1$ en $A_2$. Aan beide kanten van $a$ ligt ten minste één hoekpunt, want $a$ is een diagonaal. Aan beide kanten blijft dus een veelhoek over (inclusief $A_1$ en $A_2$). Nu moet nog worden aangetoond dat in beide veelhoeken ten minste $1$ punt is dat niet op een diagonaal ligt. Er zijn twee mogelijkheden:
-We tekenen geen nieuwe diagonalen: in dit geval blijft er ten minste één punt over waardoor geen diagonaal gaat.
-We tekenen een nieuwe diagonaal $b$: in dit geval kijken we enkel naar de veelhoek die overblijft aan de kant van $b$ waar $A_1$ en $A_2$ niet allebei liggen en moeten we weer dezelfde keuze maken.
Omdat het aantal punten eindig is zal je uiteindelijk eens de eerste mogelijkheid moeten kiezen voor beide veelhoeken.