IrMO 2002
Dag 1
Vraag 1 Opgelost!
De driehoek $ABC$ heeft $a,b,c=29,21,20$ respectievelijk. De punten $D,E$ liggen op de zijde $BC$ met $BD=8,DE=12,EC=9$. Vind $\angle DAE$.
Vraag 2 Opgelost!
Een graaf heeft $n$ toppen. Ieder punt heeft als graad maximum 3. Als er geen boog bestaat tussen twee punten, dan is er een derde punt dat met beide punten een boog gemeen heeft. Wat is de maximumwaarde van $n$? Wat is de maximumwaarde van $n$ als de graaf een driehoek bevat?
Vraag 3 Opgelost!
Vind alle drietallen natuurlijke getallen $(p,q,n)$ met $p,q$ priemgetallen, waarvoor $$p(p+3)+q(q+3)=n(n+3).$$
Dag 2
Vraag 1
Definieer de rij $a_1,a_2,a_3,\ldots$ door $a_1=a_2=a_3=1$ en $a_{n+3}=(a_{n+2}a_{n+1}+2)/a_n$. Toon aan dat alle termen gehele getallen zijn.
Vraag 2 Opgelost!
Als $0
Vraag 3
Voor welke natuurlijke getallen $n$ kunnen we een cyclische permutatie $a_1,a_2,\ldots,a_n$ vinden van $(1,2,\ldots,n)$ (dit is dus: $(i,i+1,i+2,\ldots,n,1,2,\ldots,i-1)$ voor een zekere $i$) en een permutatie $(b_1,b_2,\ldots,b_n)$ van $(1,2,\ldots,n)$ zodat $1+a_1+b_1=2+a_2+b_2=\cdots=n+a_n+b_n$?
Dag 3
Vraag 1 Opgelost!
Als $n=p\cdot q\cdot r\cdot s$, met $p,q,r,s$ verschillende priemgetallen zodat $s=p+r,p(p+q+r+s)=r(s-q)$ en $qs=1+qr+s$, vind dan $n$.
Vraag 2 Opgelost!
Vind alle functies $f\mathbb Q\rightarrow\mathbb Q$ zodat $f(x+f(y))=f(x)+y$ voor alle $x,y$.
Vraag 3 Opgelost!
Toon aan dat
$$k^n-\left\lfloor k^n\right\rfloor=1-\frac1{k^n}$$
met $k=2+\sqrt3$ en $n\in\mathbb N$.
Vraag 4
De ingeschreven cirkel van de driehoek $ABC$ raakt $BC$ in $D$ en $AC$ in $E$. De zijden hebben gehele lengtes en $|AD^2-BE^2|\leq2$. Toon aan dat $AC=BC$.
