diophantische vergelijking

Opgave - IrMO 2002 dag 3 vraag 1

Als $n=p\cdot q\cdot r\cdot s$, met $p,q,r,s$ verschillende priemgetallen zodat $s=p+r,p(p+q+r+s)=r(s-q)$ en $qs=1+qr+s$, vind dan $n$.

Oplossing

Omdat $s = p+r \geq 4$, is $s$ oneven, dus $p$ en $r$ hebben een verschillende pariteit. Maar ze zijn beiden priem, dus $p = 2$ of $r = 2$. In beiden gevallen is echter $p+q+r+s$ oneven ($p,q,r,s$ zijn verschillende priemen, en eentje ervan is even, dus drie zijn oneven en hun som is dus oneven), dus $r$ moet oneven zijn. Immers: als $r$ even is, dan zou $0 \equiv r(s-q) = p(p+q+r+s) \equiv p\ (\text{mod } 2)$, dus $p$ zou ook evn zijn, hetgeen in tegenspraak is met het feit dat $p$ en $r$ verschillende priemen zijn. Bijgevolg is $r$ oneven en dus $p = 2$. We actualiseren onze vergelijkingen:

$s = p+r = 2+r$
$2(q+2s) = p(p+q+r+s) = r(s-q) = (s-2)(s-q) = s^2-sq-2s+2q$, dus $0 = s^2-6s-sq$, dus $s-q = 6$. Ook geldt er dat $0 = 1+qr+s-qs = 1+q(s-2)+s-qs = 1+s-2q = 1+(s-q)-q = 7-q$, dus $q = 7$, $s = 13$ en $r = 11$.