ongelijkheid
Opgave - IrMO 2002 dag 2 vraag 2
Als $0
- login om te reageren
Olympia
Nederlandstalig olympiadeproject
Zoeken
Random generator
Niveau
Wie is online
Er zijn momenteel 0 gebruikers en 1 gast online.
Oplossing
Ik gebruik Chebyshev niet vaak meer omdat ik dan altijd die gelijk-of tegengesteld gesorteerdheid moet controleren enzo...het was één van m'n favorieten "destijds" omdat ie breuken uit mekaar kon trekken enzo :cool: Anyways...dit is wat ik in gedachten had:
De ongelijkheid is equivalent met $\sum \frac{1}{1-x} \geq \frac{3}{1-\sqrt[3]{xyz}}$. De functie $f(x)=\frac{1}{1-x}$ is convex op $\left]0,1\right[$, dus is volgens Jensen $$\sum \frac{1}{1-x} = \sum f(x) \geq 3f\left(\frac{x+y+z}{3}\right) = \frac{9}{3-(x+y+z)}.$$
Bijgevolg volstaat het te bewijzen dat $\frac{9}{3-(x+y+z)} \geq \frac{3}{1-\sqrt[3]{xyz}}$, wat equivalent is met $\frac{x+y+z}{3} \geq \sqrt[3]{xyz}$.
Misschien een stomme vraag (Het is ook al bijna middernacht, en er bestaan nog mensen met een vrij normaal dag-nacht ritme :grin: :smile: )
maar ik zie niet waarom de ongelijkheid die jij geeft equivalent is met de opgave. Kan je dat eventjes uitleggen aub?
Chebyshev is bij mij ook wel een beetje favoriet af. Vroeger was ik grote fan, maar ik heb er al te vaak fouten mee gemaakt, tis echt verleidelijk om hem te gebruiken waar het niet mag.
En nu je de ongelijkheid toch terug ter sprake brengt, ik zie dat het ook eenvoudig met Cauchy gaat, dus we zijn toch bezig, laat ik 'm even posten :smile: :
Volgens Cauchy (Is dit de befaamde Engel form Christophe?) geldt er:
$$\sum_{cyc}{\frac{x}{1-x}} \geq \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)-(x^2+y^2+z^2)}$$
We moeten dus bewijzen dat $$\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)-(x^2+y^2+z^2)} \geq \frac{3\sqrt[3]{xyz}}{1-\sqrt[3]{xyz}}$$
Ofwel $$\frac{1}{x+y+z} - \frac{x^2+y^2+z^2}{(x+y+z)^2} \leq \frac{1}{3\sqrt[3]{xyz}} - \frac{1}{3}$$
Wat uiteraard waar is wegens AM-GM en QM-AM