IrMO 2001

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Vind alle drietallen natuurlijke getallen $(a,b,c)$ waarvoor $a!+b!+c!=2^n$.

Vraag 2 Opgelost!

$ABC$ is een driehoek. Toon aan dat de zwaartelijnen $BD$ en $CE$ loodrecht snijden als en slechts $b^2+c^2=5a^2$.

Vraag 3 Opgelost!

$p$ is een oneven priemgetal dat kan geschreven worden als het verschil van twee vijfdemachten. Toon aan dat
$$\sqrt{\frac{4p+1}5}=\frac{n^2+1}2$$
voor een zeker oneven natuurlijk getal $n$.

Dag 2

Vraag 1

Toon aan dat
$$\frac{2n}{3n+1}\leq\sum_{n\leq k\leq2n}\frac1k\leq\frac{3n+1}{4(n+1)}.$$

Vraag 2

Als $a,b$ reële getallen zijn zodat $ab>0$, toon dan aan dat
$$\sqrt[3]{\frac{a^2b^2(a+b)^2}4}\leq\frac{a^2+10ab+b^2}{12}$$
en vind wanneer gelijkheid optreedt. Vind ook alle reële $a,b$ waarvoor
$$\sqrt[3]{\frac{a^2b^2(a+b)^2}4}\leq\frac{a^2+ab+b^2}3.$$

Vraag 3 Opgelost!

Vind het kleinste natuurlijke getal $m$ waarvoor $55^n+m32^n$ een veelvoud is van 2001 voor een zekere oneven $n$.

Dag 3

Vraag 1

Drie cirkelvormige kettingen hebben elk tien zwarte en tien witte kralen willekeurig geschikt op hun omtrek. Toon aan dat we de kralen altijd zo kunnen roteren rond de cirkels zodat in minstens vijf corresponderende plaatsen alle kralen dezelfde positie hebben.

Vraag 2

$P$ is een punt op de hoogte $AD$ van de driehoek $ABC$. De rechten $BP,CP$ snijden $CA,AB$ in $E,F$ respectievelijk. Toon aan dat $AD$ de bissectrice is van $\angle EDF$.

Vraag 3 Opgelost!

Vind alle positieve reële getallen $x$ zodat $\sqrt[3]{13+\sqrt x}+\sqrt[3]{13-\sqrt x}$ een natuurlijk getal is.

Vraag 4 Opgelost!

Vind alle functies $f\mathbb N\rightarrow\mathbb N$ zodat $f(m+f(n))=f(m)+n$ voor alle natuurlijke $m,n$.

(edit: $\mathbb{N}=\{0,1,2,...\}$ hier... tenzij iemand een oplossing vindt voor de vraag zonder 0? )