functievergelijking

Stel dat $f(p)=f(q)$, dan is $f(m)+p = f(m+f(p)) = f(m+f(q)) = f(m)+q$, dus $p=q$. Bijgevolg is $f$ injectief.

Ik veronderstel dat $0\in\mathbb{N}$...Stel $m=n=0$, dan is $f(f(0)) = f(0)$. $f$ is injectief, dus moet $f(0)=0$. Kies nu gewoon $m=0$ om te bekomen dat $f(f(n)) = n$. Nu is dus $f(m+n) = f\left(m+f(f(n))\right) = f(m)+f(n)$. Dat is een Cauchy equation en heeft dus als oplossingen $f(x) = kx$ met $k\in\mathbb{N}$. Maar uit $1 = f(f(1)) = f(k) = k^2$ volgt er dat $k=1$. Het is niet moeilijk om na te gaan dat $f(x)=x$ inderdaad voldoet aan de opgave.

N.B. Het bewijs voor die Cauchy equation is per inductie een lachertje.

Edit: go Belgian $\mathbb{N}$ :cool: