vergelijking

Tags:

Opgave - IrMO 2001 dag 3 vraag 3

Vind alle positieve reële getallen $x$ zodat $\sqrt[3]{13+\sqrt x}+\sqrt[3]{13-\sqrt x}$ een natuurlijk getal is.

Oplossing inzenden

Oplossing

Ingediend door C|Debry

Schrijf $a=\sqrt[3]{13+\sqrt{x}}$ , $b=\sqrt[3]{13-\sqrt{x}}$ en $c=-(a+b)$ . We willen dan dat $c\in\mathbb{Z}^-$ . Maar $a+b+c=0$ , dus hebben we dat $a^3+b^3+c^3 = 3abc$ , i.e. $\boxed{c^3+26 = 3c\sqrt[3]{169-x}}$ .

We willen $c<0$ .

Als $c=-1$ , dan is $25 = -3\sqrt[3]{169-x}$ , dus $x = \frac{25^3}{3^3}+169$ .

Als $c=-2$ , dan is $18 = -6\sqrt[3]{169-x}$ , dus $x = 196$ .

Als $c\leq -3$ , dan is $c^3+26 < 0$ . Bijgevolg moet $\sqrt[3]{169-x} = \frac{c^3+26}{c} > 0$ , zodat $x<169$ . Nu geldt er overduidelijk dat $0<13-\sqrt{x}<26$ en $0<13-\sqrt{x}<26$ , zodat $a+b \in\left]0,2\sqrt[3]{26}\right[$ , i.e. $0<a+b<6$ , want $2\sqrt[3]{26}<6$ . We hoeven dus nog enkel de gevallen $c=-3$ , $c=-4$ en $c=-5$ te cheken.