vergelijking

Schrijf $a=\sqrt[3]{13+\sqrt{x}}$, $b=\sqrt[3]{13-\sqrt{x}}$ en $c=-(a+b)$. We willen dan dat $c\in\mathbb{Z}^-$. Maar $a+b+c=0$, dus hebben we dat $a^3+b^3+c^3 = 3abc$, i.e. $\boxed{c^3+26 = 3c\sqrt[3]{169-x}}$.

We willen $c<0$.

Als $c=-1$, dan is $25 = -3\sqrt[3]{169-x}$, dus $x = \frac{25^3}{3^3}+169$.

Als $c=-2$, dan is $18 = -6\sqrt[3]{169-x}$, dus $x = 196$.

Als $c\leq -3$, dan is $c^3+26 < 0$. Bijgevolg moet $\sqrt[3]{169-x} = \frac{c^3+26}{c} > 0$, zodat $x<169$. Nu geldt er overduidelijk dat $0<13-\sqrt{x}<26$ en $0<13-\sqrt{x}<26$, zodat $a+b \in\left]0,2\sqrt[3]{26}\right[$, i.e. $0

Als $c=-3$, dan is $-1 = -9\sqrt[3]{169-x}$, dus $x = 169-\frac{1}{9^3}$.

Als $c=-4$, dan is $-38 = -12\sqrt[3]{169-x}$, dus $x = 169-\frac{19^3}{6^3}$.

Als $c=-5$, dan is $-99 = -15\sqrt[3]{169-x}$, dus $x = 169-\frac{33^3}{5^3}$, maar dan is $x<0$, wat niet kan. (Thanks, mister Calculator.)

En we zijn er. :grin: