diophantische vergelijking

De vergelijking is symmetrisch, stel dus zonder verlies van algemeenheid $a\ge b\ge c$. Om geen factor $3$ te krijgen in het resultaat moet $c\le2$. We gaan ook enkel oplossingen geven met $c\ge 1$ aangezien $0$ en $1$ steeds samen wel of niet kunnen.

Als $c=1$ dan moet $b=1$ en $a>1$ omdat de som anders oneven is. Voor $a$ moet dan gelden dat $a!+2=2^{n}$. Voor $a>3$ staat daar modulo $4$ dat $2=0$, een strijdigheid, zodat $a\le 3$. Invulen toont aan dat zowel $(2,1,1)$ als $(3,1,1)$ voldoen.

Als $c=2$ dan geeft $a!+b!=2^{n}-2$ modulo $4$ bekijken dat $b\in\{2,3\}$ en $a\ge4$. Voor $b=2$ zou het resultaat echter een factor $3$ bevatten, dus moet $b=3$. Dus zoeken we nu alle $a$ waarvoor $a!=2^{n}-8$. Daar $a\ge4$ is $n\ge 5$. Modulo $16$ geeft deze vergelijking dus $a!=8$ zodat $a\le 5$. Invulen toont aan dat zowel $(4,3,2)$ als $(5,3,2)$ voldoen.