speciale priemgetallen
Opgave - IrMO 2001 dag 1 vraag 3
$p$ is een oneven priemgetal dat kan geschreven worden als het verschil van twee vijfdemachten. Toon aan dat
$$\sqrt{\frac{4p+1}5}=\frac{n^2+1}2$$
voor een zeker oneven natuurlijk getal $n$.
- login om te reageren
Oplossing
Bah. Schrijf $p = a^5-b^5$ met $a,b\in\mathbb{N}$. Omdat $p = a^5$ onmogelijk is, is $b \geq 1$. Ook volgt uit $p = a^5-b^5 > 0$ dat $a > b$. Nu is $$p = a^5-b^5 = (a-b)\sum_{i=0}^4 a^ib^{4-i}$$Omdat $\sum_{i=0}^4 a^ib^{4-i} \geq 5b^5 \geq 5$, moet dus $a-b = 1$ (anders kan $p$ niet priem zijn). Hieruit volgt dat $p = a^5-b^5 = (b+1)^5-b^5 = 5(b^4+2b^3+2b^2+b)+1$, dus $$\sqrt{\frac{4p+1}{5}} = \sqrt{4b^4+8b^3+8b^2+4b+1} = 2b^2+2b+1 = \frac{(2b+1)^2+1}{2}$$En $2b+1$ lijkt mij vrij oneven.